Nous savons que la corrélation zéro n'implique pas l'indépendance. Je souhaite savoir si une corrélation non nulle implique une dépendance - c'est-à-dire si pour certaines variables aléatoires et , peut-on dire en général que ?
correlation
independence
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\implies
produit\rightarow
ce qui produit .Soit et Y des variables aléatoires telles que E [ X 2 ] et E [ Y 2 ] sont finies. Ensuite, E [ X Y ] , E [ X ] et E [ Y ]X Y E[X2] E[Y2] E[XY] E[X] E[Y] sont tous finis.
La restriction de notre attention à ces variables aléatoires, que dénoter l'affirmation selon laquelle X et Y sont indépendantes des variables aléatoires et B l'affirmation selon laquelle X et Y sont décorrélés des variables aléatoires, qui est, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . On sait alors que A implique B , c'est-à-dire que les variables aléatoires indépendantes sont des variables aléatoires non corrélées. En effet, une définitionA X Y B X Y E[XY]=E[X]E[Y] A B de variables aléatoires indépendantes est que
est égal à E [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ] pour toutes les fonctions mesurables g ( ⋅ )
et h ( ⋅ ) ). Ceci est généralement exprimé comme
AE[g(X)h(Y)] E[g(X)]E[h(Y)] g(⋅) h(⋅)
Mais un
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Here a purely logical proof. IfA→B then necessarily ¬B→¬A , as the two are equivalent. Thus if ¬B then ¬A . Now replace A with independence and B with correlation.
Think about a statement "if volcano erupts there are going to be damages". Now think about a case where there are no damages. Clearly a volcano didn't erupt or we would have a condtradicition.
Similarly, think about a case "If independentX,Y , then non-correlated X,Y ". Now, consider the case where X,Y are correlated. Clearly they can't be independent, for if they were, they would also be correlated. Thus conclude dependence.
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