Calcul du PDF en fonction du CDF

Je sais que le PDF est la première dérivée du CDF pour une variable aléatoire continue et la différence pour une variable aléatoire discrète. Cependant, je voudrais savoir pourquoi cela est, pourquoi y a-t-il deux cas différents pour discret et continu?

Je vais être un peu imprécis, mais j'espère intuitif.

Les distributions de probabilité discrètes et continues doivent être traitées différemment. Pour toute valeur dans une distribution discrète, il existe une probabilité finie. Avec une pièce de monnaie équitable, la probabilité de têtes est de 0,5, avec un dé à six faces, la probabilité d'un 1 est un sixième, etc. Cependant, la probabilité d'une valeur spécifique dans une distribution continue est nulle, car une valeur spécifique est une seule valeur parmi un nombre infini de valeurs possibles, et si des valeurs spécifiques avaient une probabilité> 0, elles ne seraient pas égales à 1. Par conséquent, avec des distributions continues, nous parlons de la probabilité de plages de valeurs.

«Récapituler» est la clé pour répondre à votre question. Si vous êtes familier avec le calcul et son histoire, vous comprenez que le signe intégral - ce «S» allongé: - est un type spécial de sommation: celui décrivant le cas limite à mesure que nous approchons de la somme d'un nombre infini de disparaissant petit valeurs entre les points et sur une fonction. Si cette fonction est un PDF, nous pouvons l'intégrer (résumer) pour produire un CDF, et inversement différencier (différencier) le CDF pour obtenir le PDF.$\int$$a$$b$

Dans le cas discret, nous pouvons simplement effectuer une sommation arithmétique standard (d'où la grande notation « » plutôt que la notation «S» haute) et une différenciation arithmétique.$\Sigma$

La différence est pour la commodité et la compréhension des personnes qui n'ont pas eu à supporter un doctorat. cours théoriques de niveau où vous dérivez et prouvez "Intégral par rapport à la mesure de comptage" . Ce qui montre qu'il n'y a vraiment pas de différence entre les distributions discrètes et continues, qu'une somme est vraiment une intégrale (et comme @Alexis l'a déjà mentionné, une intégrale est essentiellement une somme) et une différence est vraiment une dérivée (c'est un peu plus simple à voir qu'un dérivé est une différence mise à l'échelle de manière appropriée).

Les manuels et les cours les traiteront différemment, car il est plus simple d'enseigner / comprendre tôt plutôt que d'exiger des mathématiques qui montrent qu'il n'y a pas de différence.

(Au moins aux niveaux d'introduction), le terme densité se réfère uniquement à des variables aléatoires continues.

Les variables aléatoires discrètes ont une fonction de masse de probabilité , parfois appelée fonction de probabilité (pmf ou pf, pas pdf). Cela ne renvoie pas la densité mais la probabilité réelle.

Certaines variables aléatoires n'en ont pas non plus (mais elles ont toujours un cdf).

Réfléchissez à la définition d'un cdf ($F_X(x) = P(X\leq x)$), puis ce qui se passe $x$ bouge un peu dans les deux cas.

Considérons maintenant que tout saut dans le cdf implique qu'une valeur particulière a une probabilité non nulle (que $P(X\leq x)>P(X<x)$ et la différence est $P(X=x)$). Cette probabilité non nulle pour notamment$x$-values ​​est ce que les enregistrements pmf $p_X(x)=P(X=x)$.

(Dans les traitements plus avancés, la distinction disparaît.)

En fait, vous pouvez traiter les distributions continues et discrètes de la même manière, mais pour ce faire, vous avez introduit les fonctions delta de Dirac, les limites de gauche et d'autres concepts "avancés".

Donc, le moyen facile de répondre à votre question est que les sauts CDF discrets , c'est discontinu. Vous ne pouvez pas le différencier partout à cause de cela.

Encore une fois, si vous connaissez la fonction delta , tout est possible!