Une bonne pièce est lancée jusqu'à ce qu'une tête se lève pour la première fois. La probabilité que cela se produise sur un lancer de nombre impair est?

Une bonne pièce est lancée jusqu'à ce qu'une tête se lève pour la première fois. La probabilité que cela se produise sur un lancer de nombre impair est? Comment aborder ce problème?

Additionnez les probabilités que la pièce monte pour la première fois au lancer 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• Le terme est assez évident, c'est la probabilité que le premier lancer soit une tête.$1/2$

• Le terme est la probabilité d'obtenir des têtes pour la première fois au troisième lancer, ou la séquence TTH. Cette séquence a une probabilité de .$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• Le terme est la probabilité d'obtenir des têtes pour la première fois au cinquième lancer, ou la séquence TTTTH. Cette séquence a une probabilité de .$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Maintenant, nous pouvons réécrire la série ci-dessus comme

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Il s'agit d'une série géométrique qui se résume aux . La façon la plus simple de le montrer est avec un exemple visuel. Commencez avec la série$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Il s'agit d'une série géométrique qui se résume à .$1$

Si nous additionnons uniquement les termes pairs de cette série, nous pouvons voir qu'ils totalisent .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Si vous supprimez les termes pairs de la séquence complète, il ne vous reste que les termes impairs, qui doivent totaliser les .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Pensez récursivement - soit la probabilité de la première tête sur un lancer impair, et soit la probabilité de la première tête sur un lancer pair. Maintenant , et nous avons aussi que est égal à la probabilité de lancer le premier queues fois . Ainsi ; ; .$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$