Dans un processus de Poisson mesuré avec une certaine efficacité, le nombre mesuré est-il toujours de Poisson?

Situation:

Disons que j'ai un processus de Poisson, comme la désintégration radioactive, produisant des particules R par seconde. Je mesure avec un détecteur. Il y a une probabilité P qu'une particule soit détectée par le détecteur.

Choses que je pense savoir:

1. Le temps inter-arrivée de l'émission de particules est une loi exponentielle avec des paramètres basés sur R .
2. Le nombre de particules émises avant la détection est donnée par un binôme négatif sur la base de P .
3. Si un nombre N est échantillonné à partir de (2), un seul échantillon de temps inter-arrivée pour les particules détectées peut être donné par la somme de N échantillons à partir de (1). Cette somme peut être obtenu par échantillonnage d'une distribution gamma de paramètres en fonction de N et R .

Ma question:

Si un seul temps entre arrivées peut être calculé en échantillonnant à partir d'un gamma basé sur N et R , comment le nombre de détecteurs dans un intervalle finit-il par redevenir Poisson? (Pour être Poisson, le temps inter-arrivée pour le détecteur doit être exponentiel, non distribué selon une chose gamma bizarre.) Bien sûr, N fluctue, mais je ne vois pas comment cela fonctionne.

Cependant, je suis presque entièrement sûr que le nombre de détecteurs est en fait distribué par Poisson. Quelqu'un pourrait-il me montrer les mathématiques? Merci pour l'aide!

ÉDITER:

J'ai trouvé cet article: Fried, DL "Bruit dans le courant de photoémission." Applied Optics 4.1 (1965): 79-80.

Ce qui montre le résultat qu'une variable aléatoire de poisson sélectionnée binomialement est également Poisson avec un taux donné par PR. Cela confirme le commentaire de jbowman. Néanmoins, je serais intéressé de voir l'explication de la façon dont mon processus de génération du temps inter-arrivée au détecteur en utilisant la distribution binomiale et gamma négative est incorrect. Ceci est mon hoquet mental majeur. Je vous remercie.

EDIT 2:

J'ai écrit ce script matlab pour tester si ce que j'essayais avec la distribution gamma fonctionnait. Il s'avère que d'une manière ou d'une autre les temps d'inter-arrivée gamma générés avec un N géométriquement distribué sont exponentiels et concordent avec les temps d'inter-arrivée suggérés par Poisson (PR). (ia2 et ia3 sont distribués de façon identique). Une idée de comment cela fonctionne analytiquement? Ce n'était pas intuitivement évident pour moi!

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n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');

Un rapide argument non technique pourrait utiliser les réseaux Jackson . Dans votre cas, le total des arrivées externes est le taux$R$, et il n'y a pas de transitions internes (les particules observées ne passent pas à la file d'attente non observée). La proportion de division entre les nœuds observés et non observés$p_{0i}$ est $P$, alors le

$\lambda_{obs}=RP$

Si vous recherchez des premiers principes, appelez $O(t)$ le processus de comptage observé, et $N(t)\sim PP(r)$le processus de comptage total. Où chaque arrivée$N(t)$ se connecte $O(t)$ avec probabilité $p$. Alors que si pour certains$s$ on a $N(s)=n$ puis $O(s)$ a un binôme ($n,p$) Distribution.

Cette approche utilise des fonctions génératrices de probabilité:

$E[z^{O(t)}|N(t)=n]=\sum_{j=0}^{n}z^{j} {n \choose j}p^j(1-p)^{n-j}=(1-p+pz)^{n}$

Dernière égalité par le théorème binomial. Alors, inconditionnellement, puisque :$N(t)\sim Poisson(rt)$

$E[z^{O(t)}]=E[E[z^{O(t)}|N(t)=n]]=\sum_{n=0}^{\infty}(1-p+pz)^{n}\frac{rt^n}{n!}e^{-rt}=e^{-rt}e^{rt(1-p+pz)}=e^{rpt(z-1)}$

Quelle est la fonction de génération de probabilité d'une variable aléatoire de Poisson ( ).$rpt$