Composants I et Q et différence entre QPSK et 4QAM

4QAM et QPSK produisent apparemment la même forme d'onde, mais sont-ils les mêmes mathématiquement?

Dans une constellation QPSK, les points de cartographie sont-ils à 45, 135, 225 et 315 degrés alors que le 4QAM est à 0, 90, 180 et 270?

J'ai également du mal à comprendre les composants I / Q d'un tel diagramme de constellation. Que signifient réellement "en phase" et "en quadrature"? S'agit-il simplement d'une autre façon de spécifier la partie réelle et imaginaire pour ce type d'utilisation?

Les constellations QPSK et $4$ -QAM ont des points de signal à $45, 135, 225$ et $315$ degrés (notez la faute de frappe dans votre question). Ils proviennent de la modulation d'amplitude (ou, si vous préférez, de la modulation de phase ) de deux signaux porteurs (appelés porteurs en phase et en quadrature) qui sont orthogonaux (ce qui signifie qu'ils diffèrent en phase de 90 degrés. La représentation canonique d'un QPSK ou $4$ - Le signal QAM pendant un intervalle de symbole est

$$s(t) = (-1)^{b_I}\cos(2\pi f_c t) - (-1)^{b_Q}\sin(2\pi f_c t)$$ où$\cos(2\pi f_c t)$ et $-\sin(2\pi f_c t)$ sont lessignaux porteurs enphaseet enquadratureà la fréquence$f_c$ Hz et$b_I, b_Q \in \{0,1\}$ sont les deux bits de données (appelés naturellement les bits de données en phase et en quadrature, car ils sont transmis sur les porteuses en phase et en quadrature). Notez que la porteuse en phase$\cos(2\pi f_c t)$ a uneamplitude $+1$ ou $-1$ selon que le bit de données en phase a la valeur$0$ ou$1$ , et de même la porteuse en quadrature$-\sin(2\pi f_c t)$ a uneamplitude $+1$ ou $-1$selon que le bit de données en quadrature a la valeur $0$ ou $1$ . Certaines personnes considèrent cela comme une inversion du schéma normal des choses, affirmant de manière didactique que les amplitudes positives doivent être associées à $1$ bit de données et les amplitudes négatives à $0$ bit. Mais si on le regarde du point de vue de la modulation de phase , un bit de $0$ signifie que la porteuse ( $\cos(2\pi f_c t)$ ou $-\sin(2\pi f_c t)$ selon le cas) est transmise sans changement de phasetandis qu'un bit de données $1$ crée un changement de phase (nous le considérerons comme un retard de phase ) de $180$ degrés ou $\pi$ radians. En effet, une autre façon d'exprimer le signal QPSK / $4$ -QAM est que $$s(t) = \cos(2\pi f_c t - b_I\pi) - \sin(2\pi f_c t - b_Q\pi)$$ ce qui rend le point de vue de la modulation de phase très clair. Mais, quel que soit le point de vue que nous utilisons, pendant un intervalle de symboles, le signal QPSK / $4$ -QAM est l'un des quatre signaux suivants: $$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{3\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{5\pi}{4}\right),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{7\pi}{4}\right)$$ correspondant à$(b_I,b_Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$respectivement.

Notez que le point de vue pris ici est de QPSK comme consistant en deux signaux BPSK sur des porteuses de phase orthogonales . Le démodulateur est donc constitué de deux récepteurs BPSK (appelés branche en phase et branche en quadrature, quoi d'autre?). Un point de vue alternatif de QPSK comme changeant la phase d'une seule porteuse en fonction d'un symbole évalué à $4$ est développé un peu plus tard.

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Le signal QPSK / $4$ -QAM peut également être exprimé comme

$$s(t) = \text{Re}\{B \exp(j2\pi f_c t)\} = \text{Re}\{[(-1)^{b_I}+j(-1)^{b_Q}] \exp(j2\pi f_c t)\}$$ où $B$ est le symbole de bande de base à valeurs complexesprenant des valeurs en $\{\pm 1 \pm j\}$ et qui, tracées sur le plan complexe, donnent des points de constellation distants $\sqrt{2}$ depuis l'origine et à $45, 135, 225$et$315$degrés correspondant aux bits de données$(b_I,b_Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ respectivement. Notez queles paires de bitscomplémentairesse trouvent en diagonale à travers le cercle les unes des autres de sorte queles erreurs de double bitsont moins susceptibles que les erreurs sur un seul bit. Notez également que les bits se produisent naturellement autour du cercle dans l' ordre du code Gray ; il n'est pas nécessaire de masser une paire de bits de données donnée $(d_I,d_Q)$ (disons $(0,1)$ ) à partir de la "représentation naturelle" (où cela signifie l'entier $2 = d_I+2d_Q$ : $d_I$ est le LSB et $d_Q$ le MSB ici) à "Représentation en code gris" $(b_I,b_Q) = (1,1)$ de l'entier$2$ comme certaines implémentations semblent insister pour le faire. En effet,telles massage conduit àmoins bonneperformance du BER depuis ladécodé $(\hat{b}_I,\hat{b}_Q)$ doit êtreummassagedau niveau du récepteur dans lesdonnées décodéesbits$(\hat{d}_I,\hat{d}_Q)$ faisant leseul canal erreur surbits $$(b_I,b_Q) = (1,1) \to (\hat{b}_I,\hat{b}_Q) = (1,0)$$ dans ledoubleerreur surbits de données $${(d_I,d_Q) = (0,1) \to (b_I,b_Q) = (1,1)\to (\hat{b}_I,\hat{b}_Q) = (1,0)}\to (\hat{d}_I,\hat{d}_Q) = (1,0).$$

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Si nous retardons les quatre signaux possibles présentés ci-dessus de $45$ degrés ou $\pi/4$ radians (soustrayons $\pi/4$ radians de l'argument de la cosinusoïde), nous obtenons

$$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 0\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cos(2\pi f_c t),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{3\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 1\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}\sin(2\pi f_c t),\\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{5\pi}{4}\right) \Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 2\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) \\ \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + \frac{7\pi}{4}\right)\Rightarrow \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t + 3\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\sin(2\pi f_c t),\\$$ which give the four constellation points at $0,90,180,270$ degrees referred to by the OP. This form gives us another way of viewing QPSK signaling: a single carrier signal whose phase takes on four values depending on the input symbol which takes on values $\{0,1,2,3\}$. We express this in tabular form. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline (b_I,b_Q) & \text{normal value} ~k & \text{Gray code value} ~\ell & \text{signal as above} &\text{phase-modulated signal}\\ \hline (0,0) & 0 & 0 & \sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 0\frac{\pi}{2}\right)\\ (0,1) & 1 & 1 & \sqrt{2}\sin(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 1\frac{\pi}{2}\right)\\ (1,1) & 3 & 2 & -\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 2\frac{\pi}{2}\right)\\ (1,0) & 2 & 3 & -\sqrt{2}\sin(2\pi f_c t) & \sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - 3\frac{\pi}{2}\right)\\ \hline \end{array}$$ That is, we can regard the QPSK modulator as having input $(b_I,b_Q)$ that it regards as the Gray code representation of the integer $\ell \in \{0,1,2,3\}$ and produces the output $$\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - \ell\frac{\pi}{2}\right).$$ In other words, the phase of carrier $\sqrt{2}\cos(2\pi f_c t)$ is modulated (changed from $0$ to $\ell\frac{\pi}{2}$) in response to the input $\ell$.

So how does this work in real life or MATLAB, whichever comes first? If we define a QPSK signal as having value $\sqrt{2}\cos\left(2\pi f_c t - \ell\frac{\pi}{2}\right)$ where the value of $\ell$ is typed in as 0 or 1 or 2 or 3, we will get the QPSK signal described above, but the demodulator will produce the bit pair $(b_I, b_Q)$ and we must remember that the output is $\ell$ in Gray code interpretation, that is, the demodulator output will be $(1,1)$ if $\ell$ happened to have value $2$, and interpreting output $(1,1)$ as $3$ is a decoding error that is not generally discussed in textbooks!