Pourquoi l'autocorrélation atteint-elle son pic à zéro?

Réponses:

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Cherchez-vous une preuve formelle ou l'intuition derrière cela? Dans le dernier cas: "Rien ne peut être plus semblable à une fonction que lui-même". L'autocorrélation au décalage τ mesure la similitude entre une fonction f et la même fonction décalée de τ . Notez que si f est périodique, f décalé de n'importe quel multiple entier de τ et f coïncide, donc l'autocorrélation a une forme de peigne - avec des pics aux multiples entiers de la période avec la même hauteur que le pic central.

pichenettes
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@JasonR Un signal d' énergie finie (c'est ce que demande l'OP puisqu'il dit que la fonction d'autocorrélation à décalage nul est l'énergie) ne peut pas être périodique, et donc la seconde moitié de cette réponse n'est pas applicable à la question de l'OP, mais s'applique à la fonction d'autocorrélation périodique que l'on définit pour les signaux périodiques. Dans ma réponse , j'ai essayé de faire la distinction entre ces deux cas, et j'ai également souligné que les fonctions d'autocorrélation des signaux périodiques pouvaient avoir des vallées périodiques aussi profondes que les pics périodiques.
Dilip Sarwate
@Dilip: Comme toujours, de bons points.
Jason R
ce n'est pas une preuve, pas même proche d'une preuve. juste des mots qui ne fonctionnent que parce que vous connaissez la réponse.
John Smith
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La fonction d'autocorrélation d'un signal apériodique à énergie finie en temps discret est donnée par

Rx[n]=m=x[m]x[mn]    or   Rx[m]=m=x[m](x[mn])
pour les signaux réels et les signaux complexes respectivement. En nous restreignant aux signaux réels pour faciliter l’exposition, considérons le sommet x[m]x[mn] . Pour un retard fixe n et un m donné , X[m]X[m-n] aura généralement une valeur positive ou négative. S'il arrive que pour un retard particulier n , X[m]X[m-n] soit non négatif pour tousm , alors tous les termes de la somme s'additionneront (pas d'annulation) et doncRX[n] est garanti d'avoir une valeur positive. En fait, la somme sera plus grande si tous les pics enx[mn] s'alignent avec les pics enx[m] et les vallées enx[mn] s'alignent avec les vallées enx[m] . Par exemple, six est une fonction sinc suréchantillonnée, disons,
x[m]={sin(0.1πm)0.1πm,m0,1,m=0
avec des pics àm=0,±25,±45,et des vallées à ±15,±35,±55, x(t), puisRx[n]aura des maximaàn=0,±25,±45, (et du même coup, auront desminimaàn=±15,±35,±55, lorsque les picsserontalignés avec les vallées). LemaximumglobaldeRx[n] est évidemment au retard n=0 lorsque le plus haut pic dex[m] etx[mn] coïncide. En effet, cette conclusion vaut non seulement pour ce signal sinc mais àtoutsignal. Au décalage n=0 , nous avons
Rx[0]=m=(x[m])2
et nous avons la garantie que non seulement tous les pics et vallées sont alignés les uns avec les autres (peu importe où ces se produisent en x[m] ) mais aussi que les pics les plus hauts et les vallées les plus profondes sont alignés de manière appropriée.

Plus formellement, pour les pédants comme @JohnSmith qui exigent des preuves formelles, l' inégalité de Cauchy dit que pour les séquences à valeurs complexes u et v ,

|mu[m](v[m])|2m|u[m]|2n|v[m]|2.
Nous limiter aux séquences de valeur réelle uniquement pour faciliter l'exposition, une version plus détaillée dit que
m(u[m])2m(v[m])2mu[m]v[m]m(u[m])2m(v[m])2
où l'égalitétient dans la borne supérieure (inférieure) s'il y a un nombre positif (négatif)λtel queu=λv, (c'est-à-direu[m]=λv[m] mλ>0(λ<0)). En reconnaissant que les sommes à l'intérieur des racines carrées sont les énergies Eu et Ev des séquences, nous pouvons écrire que
EuEvmu[m]v[m]EuEv
Réglageu[m]=x[m]etv[m]=x[mn]nest un entier, nous avons cela
m(x[m])2m(x[mn])2Rx[n]m(x[m])2m(x[mn])2
et reconnaissant que maintenantEu=Ev=Ex, nous avons que
ExRx[n]Ex
avec égalité tenant dans l'une des bornes six[m]=λx[mn]pour tous m . Enfin, notant que
Ex=m(x[m])2=Rx[0]
et que lorsque n=0 , la séquence u[m]=x[m] est identique à la séquence v[m]=x[mn]=x[m0]=x[m] (that is, λ=1 is the positive real number such that u[m]=λv[m] for all m), we have that
Rx[0]Rx[n]Rx[0]
showing that Rx[n] has a peak value at n=0, all other autocorrelation values are smaller than this peak.


Lorsque x[m] est un signal périodique de puissance finie, les sommes données ci-dessus pour Rx[n] divergent. Dans de tels cas, on utilise la fonction d'autocorrélation périodique

Rx[n]=m=0N1x[m](x[mn])
N est la période de x[m] , c'est-à-dire,x[m]=x[mN] for all integers m. Note that Rx[n] is a periodic function of n. Now, while it is true that Rx[0]|Rx[n]| for 1<n<N, the maximum value Rx[0] also repeats periodically: Rx[kN]=Rx[0]kRx[n]=Rx[0]n{1,2,,N1}, typically at n=N/2 if N is even, and so we can have valleys that are as deep as the tallest peaks in the periodic autocorrelation function. The simplest example of such a sequence is when N=2 and one period of the sequence is [1 1] whose periodic autocorrelation is just the periodic sequence [2 2], that is, alternating peaks and valleys with the autocorrelation Rx[n] having peak value 2 when n is an even integer (don't forget that 0 is an even integer!) and having "anti peak" value 2 at odd values of n. More generally, we have this phenomenon whenever N is even and one period x can be decomposed into [x,x].

Dilip Sarwate
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3

using

(x[n]x[n+m])2=x2[n]+x2[n+m]2x[n]x[n+m]

one can easily show that

Rx[m]=n=x[n]x[n+m]=n=x2[n]12n=(x[n]x[n+m])2= Rx[0]12n=(x[n]x[n+m])2

the first term is simply Rx[0] and the second term is a non-negative number being subtracted from the first. that means Rx[m] cannot exceed Rx[0] for any m.

robert bristow-johnson
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the only correct answer here. thanks a lot, I had trouble deriving it myself.
John Smith