Je sais que le décalage nul dans la fonction d'autocorrélation est égal à son énergie, mais je voudrais comprendre pourquoi le pic est à zéro.
autocorrelation
itamarbe
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Réponses:
Cherchez-vous une preuve formelle ou l'intuition derrière cela? Dans le dernier cas: "Rien ne peut être plus semblable à une fonction que lui-même". L'autocorrélation au décalageτ mesure la similitude entre une fonction f et la même fonction décalée de τ . Notez que si f est périodique, f décalé de n'importe quel multiple entier de τ et f coïncide, donc l'autocorrélation a une forme de peigne - avec des pics aux multiples entiers de la période avec la même hauteur que le pic central.
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La fonction d'autocorrélation d'un signal apériodique à énergie finie en temps discret est donnée parRX[ n ] = ∑m = - ∞∞x [ m ] x [ m - n ] ou R X[ m ] = ∑m = - ∞∞x [ m ] ( x [ m - n ] )∗
pour les signaux réels et les signaux complexes respectivement. En nous restreignant aux signaux réels pour faciliter l’exposition, considérons le sommet x [ m ] x [ m - n ] . Pour un retard fixe n et un m donné , x [ m ] x [ m - n ]
aura généralement une valeur positive ou négative. S'il arrive que pour un retard particulier n , x [ m ] x [ m - n ] soit non négatif pour tousm , alors tous les termes de la somme s'additionneront (pas d'annulation) et doncRX[ n ] est garanti d'avoir une valeur positive. En fait, la somme sera plus grande si tous les pics enx[m−n] s'alignent avec les pics enx[m] et les vallées enx[m−n]
s'alignent avec les vallées enx[m] . Par exemple, six est une fonction sinc suréchantillonnée, disons,
x[m]={sin(0.1πm)0.1πm,1,m≠0,m=0
avec des pics àm=0,±25,±45,… et des vallées à
±15,±35,±55,… x(t) , puisRx[n] aura des
maximaàn=0,±25,±45,… (et du même coup, auront desminimaàn=±15,±35,±55,… lorsque les picsserontalignés avec les vallées). LemaximumglobaldeRx[n] est évidemment au retard
n=0 lorsque le plus haut pic dex[m] etx[m−n] coïncide. En effet, cette conclusion vaut non seulement pour ce signal sinc mais àtoutsignal. Au décalage n=0 , nous avons
Rx[0]=∑m=−∞∞(x[m])2
et nous avons la garantie que non seulement tous les pics et vallées sont alignés les uns avec les autres (peu importe où ces se produisent en x[m] ) mais aussi que les pics les plus hauts et les vallées les plus profondes sont alignés de manière appropriée.
Plus formellement, pour les pédants comme @JohnSmith qui exigent des preuves formelles, l' inégalité de Cauchy dit que pour les séquences à valeurs complexesu et v ,
∣∣∣∑mu [ m ] ( v [ m ] )∗∣∣∣2≤ ∑m|u[m]|2∑n|v[m]|2.
Nous limiter aux séquences de valeur réelle uniquement pour faciliter l'exposition, une version plus détaillée dit que
−∑m(u[m])2∑m(v[m])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤∑mu[m]v[m]≤∑m(u[m])2∑m(v[m])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
où l'égalitétient dans la borne supérieure (inférieure) s'il y a un nombre positif (négatif)λ tel queu=λv , (c'est-à-direu[m]=λv[m] ∀m oùλ>0 (λ<0 )). En reconnaissant que les sommes à l'intérieur des racines carrées sont les énergies Eu et Ev des séquences, nous pouvons écrire que
−EuEv−−−−√≤∑mu[m]v[m]≤EuEv−−−−√
Réglageu[m]=x[m] etv[m]=x[m−n] oùn est un entier, nous avons cela
−∑m(x[m])2∑m(x[m−n])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≤Rx[n]≤∑m(x[m])2∑m(x[m−n])2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ et reconnaissant que maintenantEu=Ev=Ex , nous avons que
−Ex≤Rx[n]≤Ex avec égalité tenant dans l'une des bornes six[m]=λx[m−n] pour tous m . Enfin, notant que
Ex=∑m(x[m])2=Rx[0] et que lorsque n=0 , la séquence u[m]=x[m] est identique à la séquence v[m]=x[m−n]=x[m−0]=x[m] (that is, λ=1 is the positive real number such that u[m]=λv[m] for all m ), we have that
−Rx[0]≤Rx[n]≤Rx[0] showing that Rx[n] has a peak value at n=0 , all other autocorrelation values are smaller than this peak.
Lorsquex[m] est un signal périodique de puissance finie, les sommes données ci-dessus pour Rx[n] divergent. Dans de tels cas, on utilise la
fonction d'autocorrélation
périodique Rx[n]=∑m=0N−1x[m](x[m−n])
où N est la période de x[m] , c'est-à-dire,x[m]=x[m−N] for
all integers m . Note that Rx[n] is a periodic function of
n . Now, while it is true that Rx[0]≥|Rx[n]| for 1<n<N ,
the maximum value Rx[0] also repeats periodically: Rx[kN]=Rx[0] k Rx[n]=−Rx[0] n∈{1,2,…,N−1} , typically at n=N/2 if N is
even, and so we can have valleys that are as deep as the tallest peaks
in the periodic autocorrelation function. The simplest example of such a sequence is when N=2 and one period of the sequence is [1 −1] whose periodic autocorrelation is just the periodic sequence [2 −2] , that is, alternating peaks and valleys with the autocorrelation Rx[n] having peak value 2 when n is an even integer (don't forget that 0 is an even integer!) and having "anti peak" value −2 at odd values of n . More generally, we have this phenomenon whenever N is even and one period x⃗ can be decomposed into [x′→,−x′→] .
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using
one can easily show that
the first term is simplyRx[0] and the second term is a non-negative number being subtracted from the first. that means Rx[m] cannot exceed Rx[0] for any m .
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