Dans cet article ou filtrage multi-taux, l'auteur établit la relation mathématique suivante. Soit la sortie d'un sous-échantillonneur tel que$y_D$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

où est le facteur de sous-échantillonnage. En d'autres termes, nous conservons chaque ème échantillon du signal d'origine. L'auteur poursuit en déclarant ce qui suit:$M$$M$

... la transformée z de est donnée par$y_D[n]$

$$Y_D[z]=\frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}X[z^{1/M}W^k]$$

où est le noyau de transformée de Fourier discrète à points, à savoir .$W^k$$M$$e^{(-j2\pi k)/M}$

Comment passer de la première expression à la seconde? Quelle est la relation entre la DFT et la transformée en Z qui permet une telle transition?

Cette dérivation est délicate. L'approche suggérée précédemment a un défaut. Permettez-moi de le démontrer d'abord; alors je donnerai la bonne solution.

Nous souhaitons relier la transformation du signal sous-échantillonné, , à la transformation du signal d'origine .$\mathcal{Z}$$Y_D(z) = \mathcal{Z}\{x[Mn]\}$$\mathcal{Z}$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\}$

La mauvaise direction

On pourrait penser à simplement brancher l'expression du signal sous-échantillonné à l'expression de la transformation :$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Un changement de variable semble évident:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Cependant, il est important de réaliser que même si le nouvel indice de sommation continue de à , la somme est maintenant supérieure à 1 sur M nombres entiers . En d'autres termes,$n'$$-\infty$$\infty$

$n' \in M\mathbb{Z}=\{...,-2M,-M,0,M,2M,...\}$ ,

tandis que la définition de la transformation nécessite$\mathcal{Z}$

$n \in \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ .

Comme il ne s'agit plus d'une transformation , nous ne pouvons pas écrire:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = X(z^{1/M})$

Le droit chemin

Définissons d'abord un signal de train d'impulsions «auxiliaire» comme:$t_M[n]$

$\begin{align*} t_M[n] & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}{\delta[n-kM]} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 & : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 & : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$

Cette fonction est de sur un échantillon sur et de zéro partout ailleurs.$1$$M$

De manière équivalente, la fonction de train d'impulsions peut s'écrire:

$t_M[n] = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}$

Preuve: Nous devons considérer séparément les cas et : n ∉ M $n \in M\mathbb{Z}$$n \notin M\mathbb{Z}$

n∉M

$$\begin{align*} t_M[n] & = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}} \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{1} && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-e^{j2\pi k n}}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{1}{M} M && : n \in M\mathbb{Z}\\ \frac{1}{M} \frac{1-1}{1-e^{j2\pi k n / M}} && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \\ & = \left\{ \begin{array}{lr} 1 && : n \in M\mathbb{Z}\\ 0 && : n \notin M\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align*}$$ Dans le cas ,$n \notin M\mathbb{Z}$

Revenons maintenant à notre problème d'origine de trouver la transformation d'un sous-échantillonneur:$\mathcal{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[Mn] z^{-n}}$

Nous appliquons la substitution , en gardant à l'esprit que cela fait que la sommation ne s'exécute que sur des multiples entiers de M:$n'=Mn$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n' \in M\mathbb{Z}}{x[n'] z^{-n'/M}}$

Nous pouvons maintenant utiliser la fonction de train d'impulsions ci-dessus pour réécrire en toute sécurité en tant que sommation sur tous les :$n \in \mathbb{Z}$

$Y_D(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{t_M[n] x[n] z^{-n/M}}$

En utilisant la formulation ci-dessus pour la fonction de train d'impulsions comme somme finie d'exponentielles, nous obtenons:

$\begin{align*} Y_D(z) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{(\frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{e^{j2\pi k n / M}}) x[n] z^{-n/M}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{e^{j2\pi k n / M} x[n] z^{-n/M}}} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}{x[n] (e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})^{-n}}} \end{align*}$

La sommation à droite est une sommation sur tous les entiers, et est donc une transformation valide en termes de . Par conséquent, nous pouvons écrire:$\mathcal{Z}$$z'=e^{-j2\pi k / M} z^{1/M}$

$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum\limits_{k=0}^{M-1}{X(e^{-j2\pi k / M} z^{1/M})}$

Il s'agit de la formule de la transformation d'un sous-échantillonneur.$\mathcal{Z}$

Je n'ai jamais vu cette notation auparavant. Cependant, cela semble logique. L' échantillonneur est défini par l'équation:$M$

$$y_D[n] = x[Mn]$$

Sa transformée est définie par l'équation:$z$

$$\begin{align} Y_D(z) &= \sum_{n=-\infty}^\infty y_D[n]z^{-n} \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[Mn] z^{-n} \end{align}$$

Appliquer un changement de variable, laissant . Les plages de la somme ne sont pas affectées par le changement de variable car elles s'étendent à l'infini.$n' = Mn$

$$Y_D(z) = \sum_{n'=-\infty}^\infty x[n']z^{-n'/M}$$

Cela ressemble à la transformation de elle-même. Rappelons qu'il est défini comme:$z$$x[n]$

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}$$

Par inspection, nous pouvons donc conclure la relation suivante entre les transformées de et :$z$$x[n]$$y_D[n]$

$$Y_D(z) = X\left(z^{1/M}\right)$$

Par conséquent, la transformée en de la sortie du sous-échantillonneur est étroitement liée à la transformée en du signal d'entrée, qui est à prévoir. Dans le domaine fréquentiel, cela se traduit par un étirement de fois du contenu fréquentiel du signal.$z$$z$$M$

Mais comment passer de l'équation ci-dessus à celle à laquelle vous faites référence dans le document? Il donne une définition de en termes de uniquement, tandis que l'expression que nous avons dérivée est une fonction de . Donc, pour une valeur particulière de laquelle vous souhaitez évaluer , vous devez d'abord calculer (c'est-à-dire prendre la racine -ième de ), puis la remplacer par . Cependant, tout différent de zéro ont distinctes racines -ème :$Y_D(z)$$z$$z^{1/M}$$z$$Y_D(z)$$z^{1/M}$$M$$z$$X(z)$$z \in \mathbb{C}$$M$$M$

$$\left\{ r_p,\ r_p e^{\frac{j2\pi}{M}},\ r_p e^{\frac{j2\pi2}{M}},\ \ldots\ ,\ r_p e^{\frac{j2\pi(M-1)}{M}} \right\}$$

$$= \left\{ r_p,\ r_p W,\ r_p W^{2},\ \ldots\ ,\ r_p W^{M-1} \right\}$$

où est la valeur du noyau DFT référencée dans votre question, et est ce que je définis comme étant la racine principale principale de la valeur complexe :$W_k$$e^{j2\pi k / M}$$r_p$$M$$z$

$$r_p = \sqrt[M]{|z|} e^{\frac{j\angle{z}}{M}}$$

Autrement dit, « principal racine de est obtenue en convertissant en forme polaire, en prenant le la racine de » amplitude s (qui est un nombre réel), et en divisant l » angle par . Les valeurs résultantes expriment sous forme polaire.$z$$M$$r_p$$z$$M$$z$$z$$M$$r_p$

Pourquoi aller à tous ces ennuis? Parce que, comme je l'ai noté précédemment, le mappage du de au domaine de n'est pas un à un. Je vais maintenant commencer à faire des gestes. Pour toute valeur particulière de laquelle vous souhaitez évaluer , il y a points correspondants dans auxquels vous pouvez mapper. Par conséquent, chacun de ces points dans contribue à la valeur correspondante de . Vous vous retrouvez alors avec une somme comme celle montrée dans le papier:$Y_D(z)$$X(z^{1/M})$$z$$Y_D(z)$$M$$X(z^{1/M})$$M$$X(z^{1/M})$$Y_D(z)$

$$Y_D(z) = \frac{1}{M} \sum_{k=0}^{M-1} X(r_p(z)W^k)$$

où fait référence au calcul de la racine -th principale que j'ai montré plus tôt. En réalité, vous pouvez choisir une des « s racines comme celui de principal; J'ai choisi cette définition car c'est la plus simple. Si vous deviez dériver correctement et rigoureusement cette relation, je pense que le facteur de entre en jeu à cause d'une dérivée de .$r_p(z)$$M$$z$$M$$\frac{1}{M}$$z^{1/M}$

En langage mathématicien, je pense que cela serait appelé une composition de fonctions; , où et . Afin de dérouler la composition de la fonction et d'écrire en fonction de uniquement, vous devez le domaine de en un à un, inverser la fonction sur ces intervalles, puis additionner les résultats avec des facteurs d'échelle appropriés. J'ai déjà utilisé cette technique pour calculer la fonction de distribution de probabilité d'une fonction d'une variable aléatoire étant donné le pdf de la variable aléatoire d'origine (par exemple pour dériver le pdf de étant donnéf ( z ) = X ( z ) g ( z ) = z 1 / M Y D ( z ) z Y D ( z ) $Y_D(z) = f(g(z))$$f(z) = X(z)$$g(z) = z^{1/M}$$Y_D(z)$$z$$Y_D(z)$$\sqrt{X}$$X$'s pdf), mais le nom de la technique m'échappe.