filtres IIR complémentaires

Je voudrais une paire de filtres IIR complémentaires (passe-bas / passe-haut). Par complémentaire, je veux dire, lorsque la sortie des deux filtres est additionnée, le signal d'origine est récupéré. Je pensais pouvoir construire de telles paires avec des filtres Butterworth mais en utilisant un peu de maths, j'ai découvert que seuls les filtres de 1er ordre étaient complémentaires. Je pensais l'avoir déjà fait, mais j'oublie comment.

Quelque chose ne va pas avec mes mathématiques? Y a-t-il une solution facile que j'oublie?

Merci!

La réponse de Juancho est en quelque sorte juste, mais il y a un problème: le filtre complémentaire d'un passe-bas n'est généralement PAS un filtre passe-haut, du moins pas dans le sens que vous recherchez. Par exemple, le complément d'un passe-bas Butterworth de 4e ordre ne ressemble pas du tout à un filtre passe-haut de 4e ordre. Il n'a qu'environ la moitié de la pente, atteint un gain maximum d'env. +6 dB en dessous de la fréquence de croisement et s'approche lentement du gain unitaire au-dessus de la fréquence de croisement.

Les seuls filtres passe-haut et passe-bas qui correspondent à l'unité sont les filtres de premier ordre. Vous pouvez cependant trouver des filtres d'ordre supérieur correspondant à un gain unitaire, de sorte que la fonction de transfert globale de la somme est un filtre passe-tout. Ce sont des filtres Butterworth d'ordre impair et même des filtres Linkwitz Riley.

La réponse en fréquence des deux filtres complémentaires est , ou les réponses impulsionnelles .$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$$h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

Pour un filtre IIR, peut être écrit comme . Alors devrait être quelque chose comme .$H_1(z)$$\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$$H_2(z)$$\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

Ainsi, les coefficients non récursifs pour sont maintenant , , etc.$H_2$$(a_0-b_0)$$(a_1 - b_1)$

Les coefficients récursifs sont les mêmes pour les deux filtres.