Qu'entend-on par «moment spectral»?

J'ai consulté les tout-puissants oracles de google et wiki, mais je n'arrive pas à trouver de définition pour l'expression "le moment du spectre".

Un texte de travail hérité que je lis l'utilise de la manière suivante, définissant le nombre de passages à zéro par unité de temps comme suit:

$$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$$

Il continue ensuite à définir le nombre d'extrema par unité de temps comme indiqué par:

$$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$$

où il continue pour dire enfin, "où est le ème moment du spectre."$m_i$$i$

Quelqu'un a rencontré ça avant? Quel est le "moment" d'un spectre? Je n'en ai jamais entendu parler auparavant dans la littérature DSP.

Supposez des signaux passe-bas partout.

Étant donné que généralement une valeur complexe, en utilisant le spectre de puissance | X ( f ) | 2 est probablement une meilleure idée, surtout si vous voulez prendre des racines carrées, etc. par la suite. Ainsi, m k est défini comme m k = ∫ ∞ - ∞ f k | X ( f ) | 2 d f . Notons en particulier que m 0 est la puissance du signal, et m 1 = $X(f)$$|X(f)|^2$$m_k$

$$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$$ $m_0$$m_1 = 0$ Maintenant, la largeur de bande Gabor d'un signal est donnée par G = $G$ Pour mettre cela dans une perspective légèrement différente,| X(f)| 2est une fonction non négative, et la "zone sous la courbe|X(f)|2", à savoir. m0, est la puissance du signal. Par conséquent,| X(f)| 2/m0est effectivement unefonctiondedensité de probabilitéd'une variable aléatoire à moyenne nulle dont la variance est σ2=∫∞- $$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$$ $|X(f)|^2$$|X(f)|^2$$m_0$$|X(f)|^2/m_0$. $$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$$

Une sinusoïde de fréquence Hz a 2 G = 2 $G$$2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$$\omega$$G$$2\pi$

$$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$$

$x(t)$$j2\pi f X(f)$$|2\pi f X(f)|^2$

$$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$$ $$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$$

Je ne sais pas si j'ai entendu ce terme auparavant, mais j'interpréterais le terme "moment" comme ayant une signification analogue aux concepts physiques de centre de masse et de premier et deuxième moments de zone:

$$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$$

$k$

$L$

une expression impliquant le produit d'une distance et d'une autre quantité physique, et de cette façon, elle explique comment la quantité physique est localisée ou arrangée

$\alpha$$g$$D$$c$

$$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$$ $$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$$ $x$$X(f)$$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ $$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$$

Voir par exemple: Calcul efficace des moments spectraux pour la détermination des statistiques de réponse aléatoire pour les moments spectraux: "Les moments spectraux sont calculés à partir de la PSD unilatérale".

$L$$m_1/m_2$