Calcul du facteur de Cholesky

Ainsi , le théorème de décomposition de Cholesky que que toute réel symétrique définie positive matrice a une décomposition de Cholesky où est une matrice triangulaire inférieure.$M$$M= LL^\top$$L$

Compte tenu , nous savons déjà , il y a des algorithmes rapides pour calculer le facteur de Cholesky .$M$$L$

Supposons maintenant qu'on m'a donné une matrice rectangulaire , et que je savais que était défini positif. Existe-t-il un moyen de calculer le facteur de Cholesky de sans calculer explicite, puis en appliquant des algorithmes de factorisation de Cholesky?$m\times n$$A$$A^\top A$$L$$A^\top A$$A^\top A$

Si est une très grande matrice rectangulaire exécutant semble explicitement très cher et d'où la question.$A$$A^\top A$

Oui, vous pouvez obtenir le facteur (jusqu'aux signes des entrées) en utilisant la décomposition QR; voir cette réponse . Notez que si tout ce qui vous intéresse est de résoudre le problème des moindres carrés qui mène aux équations normales impliquant , vous pouvez utiliser directement la décomposition QR.$A^T A$

Oui. Calculez la factorisation et prenez ; redimensionnez les rangées de si nécessaire (en changeant certains de leurs signes) pour rendre le signe de la diagonale non négatif (car le facteur de Cholesky est défini comme ayant une diagonale non négative).$QR$$L=R^T$$R$

Pour les factorisations QR éparses, voir, par exemple, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408