Pourquoi l'intégration de saute-mouton n'est-elle pas symplectique et RK4, si ce dernier est plus précis?

Dans un système où l'énergie devrait théoriquement être conservée, la simulation la plus précise permettrait de conserver l'énergie (tout en donnant des positions, des vitesses, etc. précises). Le RK4 est plus précis que le saute-mouton, mais le saute-mouton économise l'énergie et pas le RK4. Pourquoi est-ce?

TL; DR: Cela dépend du type de précision dont vous avez besoin.

La conservation de l'énergie n'égale pas automatiquement la précision. Supposons que vous vouliez simuler le système solaire et que vous utilisez un solveur qui, pour prendre un exemple extrême, fait simplement tourner l'ensemble du système d'un angle toutes les secondes. Ces solutions conservent évidemment l'énergie, mais elles sont manifestement incorrectes.

D'un autre côté, si vous voulez prédire les mouvements célestes sur une période suffisamment courte, les effets d'une méthode de Runge – Kutta ne préservant pas l'énergie sont négligeables. Au contraire, cela pèse sur les simulations à long terme. Sur de courtes échelles de temps, une méthode Runge – Kutta vous donnera des résultats plus précis que le saute-mouton - au moins pour un effort de calcul comparable.

Maintenant, sur de longues échelles de temps, aucune des deux méthodes ne donne des résultats très précis dans le sens de prédire l'avenir précis d'une condition initiale (qui peut également devenir difficile en raison de l'effet papillon). Cependant, la méthode du saute-mouton donne au moins une solution plausible, car l'énergie est préservée. Cela suffit pour de nombreuses simulations où le comportement qualitatif des systèmes étudiés présente un intérêt.