Multigrille algébrique: Pourquoi le produit de l'interpolation et de la restriction n'aboutit-il pas à quelque chose avec la norme 1?

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Je travaille actuellement avec "A Multigrid Tutorial" de Briggs et al, Chapter 8.

La construction de l'opérateur d'interpolation est donnée comme suit: entrez la description de l'image ici

La construction de l'opérateur de restriction et de l'opérateur de grille fine est donnée comme suit:

entrez la description de l'image ici

Supposons que nous ayons trois points de grille x0, x1, x2 avec celui du milieu x1 est bien et les autres sont grossiers. Celui du milieu est interpolé par x1 = x0*w0 + x2*w2. Par conséquent, l'opérateur d'interpolation est (dans Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

L'opérateur de restriction est alors:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Voyons maintenant ce qui se passerait si l'on restreignait puis interpolait directement, ce qui se traduisait par une multiplication de Iet transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Je m'attendrais à ce que cette matrice soit quelque chose comme une matrice d'identité ou aurait au moins la norme 1 ou quelque chose. Mais si nous appliquions x = [1, 1, 1] pour disons w0 = w2 = 0,5, nous obtiendrions [1,5 1,5 1,5]. Je suppose que les opérations d'interpolation de restriction appliquées à plusieurs reprises convergeraient au moins vers quelque chose. Mais non, dans ce cas, toutes les composantes vectorielles sont multipliées par 1,5 à chaque restriction-interpolation. Cela me semble très étrange.

Quelqu'un peut-il expliquer ce qui se passe?

Michael
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1
I3×32×3

Réponses:

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x

Jesse Chan
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Je comprends que. Mais je suppose au moins que l'application répétée de restriction et d'interpolation convergerait contre quelque chose. Mais non - dans le cas ci-dessus, tous les éléments vectoriels seront multipliés par 1,5 pour chaque restriction-interpolation. Cela me semble étrange.
Michael
Bien sûr - quelques réponses courtes. (1) Le lissage et la normalisation ne sont pas pris en compte, qui sont généralement appliqués en tandem avec interpolation / restriction. (2) Une partie pourrait être le choix des poids. Ceux-ci correspondent souvent à des choix différents d'opérateurs d'interpolation / restriction, dont certains se traduisent par un meilleur comportement que les autres. (3) Il existe d'autres opérateurs d'interp / restriction pour lesquels interp + restrict est une projection. Par exemple, vous pouvez faire des projections globales de grilles grossières à fines, mais cela coûte cher et ne vaut pas la peine pour un solveur.
Jesse Chan
4

ITI

EEIEI(EI)(EI)=EI

Wolfgang Bangerth
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