Application de la méthode Runge-Kutta aux ODE de second ordre

Comment puis-je remplacer la méthode Euler par Runge-Kutta 4e ordre pour déterminer le mouvement de chute libre dans une amplitude gravitationnelle non constante (par exemple, chute libre à partir de 10 000 km au-dessus du sol)?

Jusqu'à présent, j'ai écrit une intégration simple par la méthode Euler:

while()
{
    v += getMagnitude(x) * dt;
    x += v * dt;
    time += dt;
}

x variable signifie la position actuelle, v signifie la vitesse, getMagnitude (x) renvoie l'accélération sur la position x.

J'ai essayé d'implémenter RK4:

while()
{
    v += rk4(x, dt) * dt; // rk4() instead of getMagintude()
    x += v * dt;
    time += dt;
}

où le corps de la fonction rk4 () est:

inline double rk4(double tx, double tdt)
{
   double k1 = getMagnitude(tx);
   double k2 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k1);
   double k3 = getMagnitude(tx + 0.5 * tdt * k2);
   double k4 = getMagnitude(tx + tdt * k3);

   return (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6.0;
}

Mais quelque chose ne va pas, car je n'intègre qu'une seule fois en utilisant RK4 (accélération). L'intégration de la vitesse à l'aide de RK4 n'a pas de sens car c'est la même chose que v * dt.

Pourriez-vous me dire comment résoudre des équations différentielles de second ordre en utilisant l'intégration Runge-Kutta? Dois-je implémenter RK4 en calculant les coefficients k1, l1, k2, l2 ... l4? Comment puis je faire ça?

Il semble y avoir un peu de confusion sur la façon d'appliquer des méthodes à plusieurs étapes (par exemple Runge-Kutta) à des ODE d'ordre 2 ou supérieur ou à des systèmes d'ODE. Le processus est très simple une fois que vous le comprenez, mais peut-être pas évident sans une bonne explication. La méthode suivante est celle que je trouve la plus simple.

$F = m\ddot{x}$

$v$$x$k1k4$(x,v)$

while (t<TMAX)
    k1 = RHS( t, X );
    k2 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k1 );
    k3 = RHS( t + dt / 2, X + dt / 2 * k2 );
    k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );
    X = X + dt / 6 * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4 );
    t = t + dt;
end

X$=(x,v)$RHS( t, X )$(\dot{x}(t),\dot{v}(t))$

Malheureusement, C ++ ne prend pas en charge nativement les opérations vectorielles comme celle-ci, vous devez donc utiliser une bibliothèque vectorielle, utiliser des boucles ou écrire manuellement les parties distinctes. En C ++, vous pouvez utiliser std::valarraypour obtenir le même effet. Voici un exemple de travail simple avec une accélération constante.

#include <valarray>
#include <iostream>

const size_t NDIM = 2;

typedef std::valarray<double> Vector;

Vector RHS( const double t, const Vector X )
{
  // Right hand side of the ODE to solve, in this case:
  // d/dt(x) = v;
  // d/dt(v) = 1;
  Vector output(NDIM);
  output[0] = X[1];
  output[1] = 1;
  return output;
}

int main()
{

  //initialize values

  // State variable X is [position, velocity]
  double init[] = { 0., 0. };
  Vector X( init, NDIM );

  double t = 0.;
  double tMax=5.;
  double dt = 0.1;

  //time loop
  int nSteps = round( ( tMax - t ) / dt );
  for (int stepNumber = 1; stepNumber<=nSteps; ++stepNumber)
  {

    Vector k1 = RHS( t, X );
    Vector k2 = RHS( t + dt / 2.0,  X + dt / 2.0 * k1 );
    Vector k3 = RHS( t + dt / 2.0, X + dt / 2.0 * k2 );
    Vector k4 = RHS( t + dt, X + dt * k3 );

    X += dt / 6.0 * ( k1 + 2.0 * k2 + 2.0 * k3 + k4 );
    t += dt;
  }
  std::cout<<"Final time: "<<t<<std::endl;
  std::cout<<"Final position: "<<X[0]<<std::endl;
  std::cout<<"Final velocity: "<<X[1]<<std::endl;

}