Évaluation d'intégrales oscillatoires avec de nombreuses périodes indépendantes et sans formes fermées

La plupart des méthodes d'intégrales oscillantes que je connais traitent d'intégrales de la forme où ω est grand.

Si j'ai une intégrale de la forme où g k sont des fonctions oscillatoires dont les racines ne sont connues qu'approximativement, mais une sorte de forme asymptotique g k ( x ) ∼ e i ω k x est connue, avec des fréquences ω k toutes différentes (et Q- linéairement indépendantes) , alors comment puis-je évaluer cette intégrale?

Contrairement au cas de , les intégrales polynomiales ∫ x a ∏ g k ( x ) ne sont pas connues, donc je ne peux pas construire un ensemble d'interpolants polynomiaux pour f ( x ) et intégrer exactement les interpolants.$e^{i\omega x}$$\int x^a \prod g_k(x)$$f(x)$

$g_k$$J_0(\omega_k x)$$f(x)=x^\alpha$$[0,\infty)$$[x_{k-1},x_k]$$M$$g_k(x)$$x$$n$$g_1\ldots g_n$$r$$r^n$$n$

Les réponses, suggestions et références heuristiques non rigoureuses sont les bienvenues.

J'ai travaillé sur des intégrales plus simples où il y a des points de phase stationnaire. J'ai trouvé deux méthodes qui fonctionnent assez bien.

L'une consiste à introduire un facteur d'amortissement exponentiel qui dépend de la fonction de phase, une sorte de viscosité artificielle si vous le souhaitez.

Une autre technique (où il y a plusieurs points de phase statistique) a été décrite dans:

Tuck, EO, Collins, JL et Wells, WH, "Sur les vagues des navires et leurs spectres", Journal of Ship Research, pp. 11-21, 1971.

Cette méthode applique des facteurs de décroissance exponentielle à l'intégrande où il devient rapidement oscillant loin de la statistique. phase, mais laisse l'intégrande intacte là où elle n'est pas.

C'est moi à court d'idées!

Tant que vous avez des valeurs précises pour les racines (ou extrema) de la partie oscillante de votre intégrande, la méthode de Longman (comme je l'ai décrit dans cette réponse ) reste applicable. Tout ce que vous avez à faire est d'évaluer un tas d'intégrales avec des intervalles entre les racines en utilisant votre méthode de quadrature préférée, et de traiter ces intégrales comme les termes de certaines séries alternées. Vous pouvez ensuite utiliser n'importe quel nombre de méthodes d'accélération de convergence (Euler, Levin, Weniger, etc.) pour «additionner» cette série alternée.

À titre d'exemple, dans cette réponse math.SE , j'ai évalué une intégrale infinie dont la partie oscillante est le produit de deux fonctions de Bessel.