intégration numérique dans de nombreuses variables

Soit et être une fonction dans ces variables.f( → x ):[0,1]n→$\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$$f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

Existe-t-il un schéma récursif pour cette intégrale itérée?

$$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$$

Si et que je divise en 100 segments, nous avons points à additionner. Il doit y avoir un moyen plus intelligent.[ 0 , 1 ] 10 $n = 10$$[0,1]$$10^{20}$

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En fait, la fonction que je souhaite intégrer est la mesure Haar du groupe Unitaire.

$$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$$

Pour les intégrations avec de nombreuses variables, la méthode de Monte Carlo est généralement un ajustement décent. Son erreur diminue à mesure que où N est le nombre de points équidistribués sélectionnés. Bien sûr, ce n'est pas bon pour les espaces de faible dimension (1D et 2D) où des méthodes d'ordre élevé existent. Cependant, la plupart de ces méthodes déterministes prennent un grand nombre de points dans des dimensions supérieures. Par exemple, un schéma 1D de premier ordre estO($O (\sqrt{N})$en 2D etO(N$O(\sqrt{N})$en 3D. La force de la méthode de Monte Carlo est que la convergence des erreurs est indépendante de la dimension spatiale. Que votre espace soit 1D ou 100D, c'estO($O(N^{\frac{1}{4}})$. $O (\sqrt{N})$

Puisqu'il est probabiliste, vous devez l'intégrer plusieurs fois en utilisant un nombre défini de points pour trouver un écart-type et une estimation de votre erreur.

La quadrature maillée est une approche alternative à intégrer dans des dimensions plus élevées.

La quadrature repose sur l'évaluation d'une somme pondérée de valeurs de fonction à des points «optimaux» spécifiques. La quadrature traditionnelle utilise une construction de grille de produit tensorielle dans des dimensions plus élevées, ce qui signifie que vous devrez évaluer la fonction à un nombre de points exponentiellement croissant à mesure que la dimension augmente.

L'astuce pour une quadrature de grille clairsemée est que vous pouvez obtenir la même précision d'ordre (au sens asymptotique) en utilisant un petit sous-ensemble de la grille du produit tensoriel. Les points clairsemés que vous choisissez finissent par être ceux qui intègrent avec précision les monômes jusqu'à un degré total souhaité . Les économies de calcul (par rapport à la grille de produits tensoriels) augmentent considérablement à mesure que la dimension augmente.

Vous devez cependant être conscient des inconvénients de cette méthode.

1. Cette méthode ne fonctionne pas bien si votre fonction n'est pas lisse (ou sinon mal approchée par les fonctions polynomiales).
2. Alors que l'ordre de précision de la quadrature de grille clairsemée peut être équivalent à une grille de produit tensoriel, la précision relative peut être bien pire. En effet, la constante devant l'ordre de précision de la grille clairsemée peut être très grande.
3. Les grilles clairsemées fonctionnent bien pour des dimensions relativement petites. Mais il y a une dimension après laquelle vous feriez probablement mieux d'utiliser une autre méthode (comme monte carlo ou ses variantes).

Pour plus d'informations sur les grilles clairsemées, je recommande les grilles clairsemées de Burkardt en hautes dimensions . Si vous êtes intéressé par le code pour générer des grilles clairsemées, vous pouvez envisager ces fichiers matlab .