Construction générale de

Deux des États enchevêtrés les plus connus sont l'État GHZ $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ et le$W_n$-state, avec$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$ .

La construction de l'état GHZ est simple pour $n$ arbitraire . Cependant, la mise en œuvre de l'état $W_n$ est plus difficile. Pour $n=2$ c'est facile, et pour $n=4$ nous pouvons utiliser

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Même pour $n=3$ nous avons des implémentations, voir cette réponse par exemple. Cependant, je n'ai pas trouvé d'algorithme qui, étant donné un $n$ , génère le circuit pour construire le $W_n$ .

Existe-t-il un tel algorithme, défini par des portes à un et deux qubits? Et si oui, c'est quoi?

Oui, il existe plusieurs implémentations de cet algorithme dans le kata quantique de superposition (tâches 14 et 15):

• Pour $n = 2^k$ , vous pouvez utiliser un algorithme récursif: créer un état W sur les $2^{k-1}$ premiers qubits, allouer un qubit ancilla dans $|+\rangle$ , Effectuez des SWAP contrôlés pour définir l'état des seconds $2^{k-1}$ qubits, puis des NOT contrôlés pour réinitialiser l'ancilla à $|0\rangle$ (WState_PowerOfTwo_Reference opération).
• Pour un $n$ arbitraire , vous pouvez utiliser un algorithme récursif tel que décrit par DaftWullie (WState_Arbitrary_Reference opération).
• Il existe également une astuce intéressante que vous pouvez utiliser pour créer un état $W_n$ pour un $n$ arbitraire en utilisant le premier algorithme récursif. Allouez des qubits supplémentaires pour garnir les $n$ donnés à $2^k$ , créez un état $W_{2^k}$ sur eux et mesurez les qubits supplémentaires; si tous les qubits mesurent à 0, l'état des qubits d'origine est $W_n$ , sinon réinitialisez et répétez le processus ( WState_Arbitrary_Postselectopération).

C'est ma tâche préférée de ce kata, car il permet de nombreuses approches différentes.

La façon la plus simple conceptuellement de produire un état W est quelque peu analogue à l' échantillonnage de réservoir classique , en ce qu'elle implique une série d'opérations locales qui créent finalement un effet uniforme.

Fondamentalement, vous examinez chaque qubit tour à tour et considérez "combien d'amplitude me reste-t-il à l'état tout-0, et combien dois-je transférer dans l'état juste-ce-qubit-est-ON?". Il s'avère que la famille de rotations dont vous avez besoin est ce que j'appellerai les "portes de cotes" qui ont la matrice suivante:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

En utilisant ces portes, vous pouvez obtenir un état W avec une séquence d'opérations de plus en plus contrôlées:

$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$$N$$\epsilon$ est la précision absolue souhaitée (puisque, dans un contexte corrigé d'erreur, les portes de cotes ne sont pas natives et doivent être approximées) .

$O(N \lg(1/\epsilon))$

$N$$\sqrt{1/N}$

L'étape partielle du grover:

Comment effectuer une opération indexée (enfin ... en quelque sorte. La figure la plus proche avait un accumulateur qui n'est pas tout à fait approprié dans ce cas):

$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$

Vous pouvez définir la séquence de manière récursive. Conceptuellement, ce que vous voulez faire, c'est:

• $|0\rangle^{\otimes N}$

• $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• $|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• Appliquer une porte bit-flip sur le qubit 1.

Cet algorithme, tel qu'exprimé, n'est pas composé uniquement de portes à un et deux qubits, mais il peut certainement être décomposé en tant que tel par des constructions d'universalité standard.

$N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$ ici$O(\log N)$