L'équivalence Clifford locale a-t-elle une représentation graphique directe pour les états de graphe qudit de dimension non prime?

Cette question fait suite à la précédente question QCSE : " Les états du graphe qudit sont-ils bien définis pour la dimension non première? ". De la réponse de la question, il semble qu'il n'y a rien de mal dans la définition des états de graphique à l' aide $d$ -dimensionnelle qudits, cependant, il semble que d' autres aspects du graphique-définition des états ne se prolongent pas de façon similaire à la dimension non-prime.

Plus précisément, pour les états de graphique qubit, un aspect clé de leur prévalence et de leur utilisation est le fait que: deux états de graphique sont équivalents à Clifford local si et seulement s'il existe une séquence de complémentations locales qui amène un graphique à l'autre (pour simple, graphiques non dirigés). Il va sans dire que c'est un outil incroyablement utile dans les analyses de la correction d'erreur quantique, de l'intrication et des architectures de réseau.

Lorsque l'on considère les états du graphique $n$ -qudit, le graphique équivalent est maintenant pondéré avec la matrice d'adjacence $A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$ , où $A_{ij}$ est le poids du bord $(i,j)$ (avec indiquant aucun bord existe). Dans le cas qudit, il a été montré que l'équivalence LC peut être étendue de manière similaire par la généralisation de la complémentation locale ( ) et l'inclusion d'une opération de multiplication des bords ( ), où: $A_{ij}=0$∘ b v ∗ a$\ast_a v$$\circ_b v$

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ où et toute l'arithmétique est effectuée modulo .$a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

Graphiquement, cela est représenté par les opérations suivantes (reproduites à partir de la réf. 2 ):

Cependant, si l'état du graphe est défini sur des qudits de dimension non prime, alors nous pouvons voir que ces opérations (semblent) échouer à représenter l'équivalence LC.

Par exemple, prenez l'état qudit représenté le graphique sur la figure 1, défini pour la dimension qudit , et laissez , tel que . Dans ce cas, exécuter puis , et donc qudit est démêlé de tous les autres qudits en utilisant uniquement des opérations locales. De toute évidence, cela est faux et se produit en raison du problème des diviseurs nuls, comme mentionné dans la réponse aux questions précédentes .$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$

Ma question est la suivante: existe-t-il un ensemble d'opérations graphiques qui représentent correctement l'équivalence Clifford locale pour les états de graphique qudit de dimension non prime?

Remarque: je m'intéresse principalement aux opérations qui s'appliquent directement à la représentation d'un état sous la forme d'un graphe pondéré unique, plutôt qu'aux décompositions possibles en plusieurs états de graphe de première dimension, comme suggéré dans la Sec. 4.3 de " États du graphe Qudit absolument enchevêtrés au maximum ".

$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Les tables d'addition, de multiplication et de conjugaison sont alors les suivantes:

$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$