Preuve d'une inégalité d'information Holevo

Supposons que j'ai un canal quantique classique classique $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , où $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ sont des ensembles finis et $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ est l'ensemble des matrices de densité sur l' espace de Hilbert complexe de dimension finie $\mathcal{H}$ .

Supposons que $p_x$ est la distribution uniforme sur $\mathcal{X}$ et $p_y$ est la distribution uniforme sur $\mathcal{Y}$ . De plus, définissez pour les distributions $p_1$ sur $\mathcal{X}$ et $p_2$ sur $\mathcal{Y}$ , les informations Holevo

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

où $H$ est l'entropie de von Neumann.

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Jusqu'à présent, je ne suis pas encore convaincu que la déclaration soit vraie en premier lieu. Je n'ai pas fait beaucoup de progrès pour le prouver, mais il semble qu'une sorte d'inégalité triangulaire pourrait vérifier l'affirmation.

Merci pour toute suggestion concernant la pertinence de la déclaration et des conseils pour la prouver.

quantum-information entropy Stephen Diadamo
la source

Comme la réponse le suggère, j'avais l'intention d'utiliser l'argmax et non le supremum.

Stephen Diadamo

Réponses:

Il semble que l'énoncé ne soit pas vrai en général. Supposons que , est l'espace de Hilbert correspondant à un seul qubit, et est défini comme Si est la distribution uniforme, le choix optimal pour est et , ce qui donne , qui est le maximum valeur possible. (Je suppose que vous voulez définir $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$ et comme argmax de ces expressions, pas le supremum.) De même, si est uniforme, et est optimal et la valeur est la même. Cependant, , donc l'inégalité ne tient pas.

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

John Watrous
la source