Étant donné l'équation de mouvement d'un système non amorti $ \ mathbf {M} \ mathbf {\ ddot {q}} + \ mathbf {K} \ mathbf {q} = \ mathbf {f} $, $ \ mathbf {M} $ indique la matrice de masse, $ \ mathbf {K} $ la matrice de rigidité, $ \ mathbf {q} $ le déplacement dépendant du temps et $ \ mathbf {f} $ la force appliquée. Les racines, $ \ omega ^ 2 $, de l'équation $ det (\ mathbf {K} - \ omega ^ 2 \ mathbf {M}) = 0 $ indiquent les fréquences de vibration.
Ma question est la suivante: quelle est l'interprétation physique de la valeurs propres de la matrice de raideur $ \ mathbf {K} $?
La matrice $ \ mathbf {K} $ représente simplement la réponse de force à un déplacement d'unité sur chacun des degrés de liberté du système.
Considérons une poutre en porte-à-faux 2D de longueur $ \ ell $ avec deux degrés de liberté. Le déplacement final $ \ delta $ et la pente finale $ \ theta $. Vous pouvez assembler une matrice de rigidité de la forme $ \ mathbf {f} = \ mathbf {K} \ mathbf {x} $
$$ \ begin {vmatrix} F \\ M \ end {vmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {48 E I} {\ ell ^ 3} & amp; - \ frac {18 E I} {\ ell ^ 2} \\ - \ frac {12 E I} {\ ell ^ 2} & amp; \ frac {6 E I} {\ ell} \ end {bmatrix} \ begin {vmatrix} \ delta \\ \ theta \ end {vmatrix} $$
L'interprétation est la force / le moment nécessaire pour atteindre les déformations de l'unité $ [1 \; 0] $ ou $ [0 \; 1] $ entre les deux colonnes de la matrice.
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