Pourquoi utilisons-nous dans l'analyse AC au lieu de ?

Dans l'analyse AC, lorsque nous traitons avec ou . Mais pour une transformée de Laplace, .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Désolé d'être ambigu mais je voudrais connecter les questions ci-dessous:

• Pourquoi sigma est-il égal à zéro?
• La fréquence neper est-elle connectée à cela?
• Sigma est-il égal à zéro car le signal d'entrée est une sinusoïde de constante ?$\pm V_{max}$

Bien sûr, , par définition. Ce qui se passe, c'est que est ignoré car il est supposé être nul. La raison en est que nous examinons la réponse du système à des signaux sinusoïdaux périodiques (et donc non décroissants), par lequel Laplace se réduit commodément à Fourier le long de l'axe imaginaire. L'axe réel dans le domaine de Laplace représente des facteurs de décroissance / croissance exponentiels que les signaux purs n'ont pas et que Fourier ne modélise pas.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Pour l'analyse AC, on suppose que le circuit a des sources sinusoïdales (avec la même fréquence angulaire ) et que tous les transitoires se sont désintégrés. Cette condition est connue sous le nom d'état stationnaire sinusoïdal ou d' état stationnaire AC .$\omega$

Cela permet d'analyser le circuit dans le domaine des phaseurs .

En utilisant la formule d'Euler, nous avons:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Le phaseur associé à est alors qui est juste une constante complexe qui contient les informations d'amplitude et de phase du signal de domaine temporel.→ V a = A e j $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Il s'ensuit que, dans ces conditions, on peut analyser le circuit en gardant une trace des tensions et courants des phaseurs et en utilisant les relations suivantes:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Nous récupérons ensuite la solution du domaine temporel via la formule d'Euler.

Maintenant, il existe un lien profond entre l'analyse des phaseurs et l'analyse de Laplace, mais il est important de garder à l'esprit le contexte complet de l'analyse AC qui est, encore une fois:

(1) le circuit a des sources sinusoïdales (avec la même fréquence )$\omega$

(2) tous les transitoires ont pourri

La raison pour laquelle est choisi pour évaluer les signaux AC est qu'il permet de convertir la transformée de Laplace en transformée de Fourier.$S=j\omega$

La raison en est que même si S est une variable complexe, ce qui est utilisé dans la représentation de Fourier n'est que la composante rotationnelle (imaginaire), donc .$\sigma=0$

Vous pouvez en trouver plus sur cette page de Stanford .

L'analyse de la fonction de transfert de transformée (TF) de Laplace donne la réponse complète à un signal d'entrée sinusoïdal de t = 0. La solution contient généralement des termes transitoires, qui tombent à zéro exponentiellement, et des termes en régime permanent qui subsistent après la disparition des exponentielles. Lorsque nous avons les pôles et les zéros d'un TF, par exemple s = -a + jw, la partie '-a' donne la réponse exponentielle (e ^ -at), et la partie jw donne la réponse sinusoïdale en régime permanent: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Si nous ne nous intéressons qu'à la partie stationnaire de la réponse (comme c'est le cas dans l'analyse de la réponse en fréquence), alors nous pouvons simplement utiliser la substitution s = jw dans le TF.

Notez que e ^ jx = cos (x) + jsin (x) est «l'identité d'Euler» et est l'une des relations les plus importantes et utiles en science et en génie.

Ceci n'est utilisé que pour "Sin" et "Cos" qui est le cas du signal AC. Remarque: La forme laplace de sin (at) ou cos (at) "1 / jw + a" ou "jw / jw + a" que cela peut être prouvé en utilisant l'identité du sin et cos en utilisant l'identité d'Euler qui est fondamentalement juste 2 exponentielles, et la place de l'exponentielle n'a que la partie imaginaire "jw".

Je vais écrire la preuve et la poster ici. :)

Si vous regardez la formule de la transformée de Fourier et de Laplace, vous verrez que «s» est la transformée de Laplace est remplacée par «jw» dans la transformée de Fourier. C'est pourquoi vous pouvez obtenir la transformée de Fourier de la transformée de Laplace en remplaçant 's' par 'jw'.