Pour quelle fonction de demande un monopole est-il le plus nuisible?

Prenons une entreprise avec un coût marginal nul. S'il donne le produit gratuitement, alors toute la demande est satisfaite et le bien-être social augmente du montant maximum possible; appeler cette augmentation$W$.

Mais parce que l'entreprise est un monopole, elle réduit la demande et augmente le prix afin d'optimiser ses revenus. Maintenant, le bien-être social augmente d'un montant moindre, disons,$V$.

Définissez la perte relative de bien-être (perte sèche) comme: $W/V$. Ce rapport dépend de la forme de la fonction de demande. Ma question est donc la suivante: ce rapport est-il limité ou peut-il être arbitrairement élevé? En particulier:

• Si $W/V$ est borné, alors pour quelle fonction de demande est-il maximisé?
• Si $W/V$ est illimité, alors pour quelle famille de fonctions de demande peut-il devenir arbitrairement grand?

Voici ce que j'ai essayé jusqu'à présent. Laisser$u(x)$être la fonction d'utilité marginale du consommateur (qui est également la fonction de demande inverse). Supposons qu'il est fini, lisse, décroissant de façon monotone et mis à l'échelle du domaine$x\in[0,1]$. Laisser$U(x)$être son anti-dérivé. Alors:

• $W = U(1)-U(0)$, la superficie totale sous $u$.
• $V = U(x_m)-U(0)$, où $x_m$est la quantité produite par le monopole. C'est le domaine sous$u$ à l'exception de la partie "perte sèche".
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = la quantité qui maximise les revenus du producteur (le rectangle marqué).
• $x_m$ peut généralement être calculé en utilisant la condition de premier ordre: $u(x_m) = -x_m u'(x_m)$ .

Pour avoir une idée du comportement de , j'ai essayé certaines familles de fonctions.$W/V$

Soit , où est un paramètre. Alors:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• La condition de premier ordre donne: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Lorsque , , donc pour cette famille, est borné.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Mais qu'arrive-t-il aux autres familles? Voici un autre exemple:

Soit , où est un paramètre. Alors:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• La condition de premier ordre donne: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Lorsque , à nouveau , alors là encore est borné.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Et un troisième exemple, que j'ai dû résoudre numériquement:

Soit , où est un paramètre. Alors:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• La condition de premier ordre donne: . En utilisant ce graphe desmos , j'ai découvert que . Bien sûr, cette solution n'est valable que lorsque ; sinon on obtient et il n'y a pas de perte sèche.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• En utilisant le même graphique, j'ai découvert que diminue avec , donc sa valeur suprême est lorsque , et elle est d'environ 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Existe-t-il une autre famille de fonctions finies pour lesquelles peut croître à l'infini?$W/V$

Un ratio arbitrairement élevé devrait se produire avec la courbe de demande

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

Le monopole prix à , mais le surplus des consommateurs si est infini, car la zone sous la courbe de demande contient .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$