Pour quelle fonction de demande un monopole est-il le plus nuisible?

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Prenons une entreprise avec un coût marginal nul. S'il donne le produit gratuitement, alors toute la demande est satisfaite et le bien-être social augmente du montant maximum possible; appeler cette augmentationW.

Mais parce que l'entreprise est un monopole, elle réduit la demande et augmente le prix afin d'optimiser ses revenus. Maintenant, le bien-être social augmente d'un montant moindre, disons,V.

Définissez la perte relative de bien-être (perte sèche) comme: W/V. Ce rapport dépend de la forme de la fonction de demande. Ma question est donc la suivante: ce rapport est-il limité ou peut-il être arbitrairement élevé? En particulier:

  • Si W/V est borné, alors pour quelle fonction de demande est-il maximisé?
  • Si W/V est illimité, alors pour quelle famille de fonctions de demande peut-il devenir arbitrairement grand?

Voici ce que j'ai essayé jusqu'à présent. Laisseru(x)être la fonction d'utilité marginale du consommateur (qui est également la fonction de demande inverse). Supposons qu'il est fini, lisse, décroissant de façon monotone et mis à l'échelle du domainex[0,1]. LaisserU(x)être son anti-dérivé. Alors:

perte de poids mort monopole

  • W=U(1)U(0), la superficie totale sous u.
  • V=U(xm)U(0), où xmest la quantité produite par le monopole. C'est le domaine sousu à l'exception de la partie "perte sèche".
  • xm=argmax(xu(x)) = la quantité qui maximise les revenus du producteur (le rectangle marqué).
  • xm peut généralement être calculé en utilisant la condition de premier ordre: u(xm)=xmu(xm) .

Pour avoir une idée du comportement de , j'ai essayé certaines familles de fonctions.W/V

Soit , où est un paramètre. Alors:u(x)=(1x)t1t>1

  • U(x)=(1x)t/t .
  • La condition de premier ordre donne: .xm=1/t
  • W=U(1)U(0)=1/t
  • V=U(xm)U(0)=(1(t1t)t)/t
  • W/V=1/[1(t1t)t]

Lorsque , , donc pour cette famille, est borné.tW/V1/(11/e)1.58W/V

Mais qu'arrive-t-il aux autres familles? Voici un autre exemple:

Soit , où est un paramètre. Alors:u(x)=etxt>0

  • U(x)=etx/t .
  • La condition de premier ordre donne: .xm=1/t
  • W=U(1)U(0)=(1et)/t
  • V=U(xm)U(0)=(1e1)/t
  • W/V=(1et)/(1e1)

Lorsque , à nouveau , alors là encore est borné.tW/V1/(11/e)1.58W/V

Et un troisième exemple, que j'ai dû résoudre numériquement:

Soit , où est un paramètre. Alors:u(x)=ln(ax)a>2

  • U(x)=(ax)log(ax)x .
  • La condition de premier ordre donne: . En utilisant ce graphe desmos , j'ai découvert que . Bien sûr, cette solution n'est valable que lorsque ; sinon on obtient et il n'y a pas de perte sèche.xm=(axm)ln(axm)xm0.55(a1)0.55(a1)1xm=1
  • En utilisant le même graphique, j'ai découvert que diminue avec , donc sa valeur suprême est lorsque , et elle est d'environ 1,3.W/Vaa=2

Existe-t-il une autre famille de fonctions finies pour lesquelles peut croître à l'infini?W/V

Erel Segal-Halevi
la source
Un coût marginal nul n'implique pas un coût de production nul. Qui supporte le fardeau de ce coût si le produit est offert gratuitement, et dans quel sens le bien-être social est-il alors maximisé?
Alecos Papadopoulos
"Soit u (x) la fonction d'utilité des consommateurs (qui est aussi la fonction de demande inverse)." N'est-ce pas la fonction utilitaire consommateurs ?
.
marginal
callculus
Sans en avoir lu la plupart, ce qui est nocif dépend du concept de bien-être social et de la façon dont nous les pondérons. Si l'on ne considère que le surplus des ménages, une élasticité-prix plus faible permet aux entreprises de récolter davantage de surplus. Par conséquent, la fonction de la demande D(p) = xest "la pire", si nous concentrons le surplus du consommateur.
FooBar
@AlecosPapadopoulos Par je voulais dire une augmentation de la protection sociale due uniquement au commerce (j'aurais peut-être dû l'appeler ). En ce sens, les coûts de production sont sans importance. WΔW
Erel Segal-Halevi
@calculus Vous avez raison, j'ai corrigé cela, merci!
Erel Segal-Halevi

Réponses:

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Un ratio arbitrairement élevé devrait se produire avec la courbe de demande

P={1Qif Q>12Qif Q1 .

Le monopole prix à , mais le surplus des consommateurs si est infini, car la zone sous la courbe de demande contient .P=1P=011QdQ=

Sander Heinsalu
la source
Merci! Y a-t-il une référence où cette question est discutée? Je m'attendrais à ce qu'il apparaisse dans les manuels standard en mircoéconomie, mais je ne l'ai trouvé dans aucun livre que j'ai consulté.
Erel Segal-Halevi
Je ne connais aucune référence, désolé.
Sander Heinsalu