Problème d'optimisation de Kuhn Tucker

Supposons que le joueur que je sélectionne au niveau de coût constant$x_i \ge 0$$c>0$

La fonction de paiement pour le joueur i est

$$v(x_i,t)-cx_i$$

où est un paramètre technologique.$t$

La fonction v (.) Est deux fois continuellement différentiable croissante et strictement concave dans .$x_i$

$v(0,t)=0$

$\partial v(0,t)/\partial _i>c$

$\partial v(x_i,t)/\partial _i<c$

Je veux maximiser ce gain en ce qui concerne . Mais la question insiste strictement sur l’utilisation de la méthode de Kuhn Tucker et sur l’énonciation et la discussion des conditions de relâchement.$x_i$

Et je dois trouver la solution à ce problème, disons$x^*$

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Ma solution:

$$L= v(x_i,t)-cx_i +\mu [x_i-0]$$

Condition de premier ordre

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c+\mu=0$$

Kuhn Tucker condition

$$\mu [x_i-0]=0$$ pour$\mu \ge 0$

Cas 1 :$\mu \ge 0$

Alors,$x_i=0$

Cas 2 :$\mu = 0$

Alors, $x_i=0$

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c=0$$

Cependant, la question donne que

$$(\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c<0$$

C'est une contradiction je pense. Par conséquent, je ne pense pas que ma solution est vraie. Et je ne peux pas écrire la fonction avec deux contraintes mais je sais que la méthode de Kuhn Tucker nécessite au moins deux contraintes.$L$

S'il vous plaît partagez vos idées avec moi. Merci beaucoup.

Voici la fonction lagrangienne pour le problème d'optimisation indiqué:

$$\mathcal{L}(x_i, t) = v(x_i, t) - cx_i + \mu x_i$$

Conditions nécessaires à l'optimalité:

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_i} =\frac{\partial v}{\partial x_i} - c + \mu = 0$$ et $$x_i\geq 0, \ \mu \geq 0, \ \mu x_i = 0$$

Pour le résoudre, considérons les cas suivants:

• $x_i > 0$

  $x_i > 0 \rightarrow \mu = 0 \rightarrow \dfrac{\partial v}{\partial x_i} - c = 0$

  S'il existe tel que , alors résout le problème.$x_i^* > 0$$\dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=x_i^*} - c = 0$$x_i = x_i^*$

• $x_i = 0$

  $x_i = 0 \rightarrow \mu = c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}$

  Si , alors résout le problème.$c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=0} \geq 0$$x_i = 0$