Calcul et courbes d'indifférence dans un exemple d'économie urbaine

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Je lis l'article « La structure des équilibres urbains » de Jan Brueckner.

Il utilise un modèle de ville monocentrique, où tous les consommateurs gagnent un revenu au centre de la ville. Ils achètent logements pour un prix à distance du centre, entraînant des frais de transport .q p x t xyqpxtx

Les consommateurs ont une fonction utilitaire:

v(c,q)=v(ytxp(ϕ)q(ϕ),q(ϕ))=u

ϕ=x,y,t,u

La contrainte budgétaire est:

c=ytxpq

entrez la description de l'image ici

La condition de tangence implique:

v1(ytxpq,q)v2(ytxpq,q)=p

où l'indice 1 indique une différenciation partielle par rapport au premier argument, etc.

Le papier discute alors comment et varient avec et .q x , y , t upqx,y,tu

Si , nous restons sur la même courbe d'indifférence. Je trouve relativement simple de trouver pϕ=x,y,t etppx,py .pt

Si est la pente de la courbe de demande compensée par le revenu, alors .qηqϕ=ηpϕ

Maintenant , pour permettre varier. La contrainte budgétaire oscille pour répondre à une nouvelle courbe d'indifférence, déterminant les nouveaux et .p qupq

Je peux trouver . Différenciez totalement la fonction d'utilité par rapport à u:pu

ddu[v(ytxp(ϕ)q(ϕ),q(ϕ))=u]=v1(puqpqu)+v2(qu)=1

Puisque, par la condition de tangence :v2=pv1

v1(puqpqu+pqu)=v1(puq)=1

Donc .pu=1qv1

L'article cite ensuite:

qu=[puMRSc1v1]η

Je ne sais pas comment dériver cela. Je suppose que le premier terme entre crochets est un effet de substitution et le second terme est un effet de revenu.

Aidez-moi à comprendre cette dernière expression et comment le dériver.qu=[puMRSc1v1]η

StevenRJClarke1985
la source
Que représente ? Le prix (fixe) du logement n'est-il pas ? De même, est-il une variable de choix ou est-il fixe? pxpupx
Oliv
De plus, qu'est-ce que étant donné que est un vecteur tridimensionnel? ϕqϕϕ
Oliv
@Oliv. est le prix du logement et la pente de la contrainte budgétaire. Si vous regardez la courbe d'indifférence ci-dessus, la pente (et donc le prix) change si vous faites varier (distance du centre), (salaire), (coût de transport par unité de distance) ou (l'utilité que chacun a - il y a un équilibre spatial dans la ville). est alors le taux de changement de prix avec l'utilité. Lorsque vous passez à une courbe d'indifférence d'utilité plus élevée, la contrainte budgétaire pivote pour y répondre, réduisant la pente (d'où le prix). x y t u ppxytupu
StevenRJClarke1985
1
@Oliv. n'est pas un vecteur. Cela peut être ou , selon la relation que vous souhaitez rechercher. Ainsi, serait le taux de variation du nombre de logements achetés à mesure que vous vous éloignez du centre-ville, en maintenant les revenus, les frais de transport par unité de distance et la constante d'utilité. serait le taux de variation du montant du logement acheté à mesure que vous augmentez l'utilité de tous les consommateurs, en maintenant le revenu, la distance du centre et les coûts de transport par unité de distance constante . x , y , t u qϕx,y,tuqqxqu
StevenRJClarke1985
n'ont pas assez de représentants pour commenter; juste un étudiant essayant d'aider la réponse le long: ∂MRS / ∂c = ∂u / ∂q thenc alors: je crois que vous avez raison dans votre hypothèse que le premier terme est effet de substitution le taux de variation du montant du logement acheté = (∂p / ∂u - [(v1) ∂u / ∂q∂c]) * effet de revenu
scott