dominance stochastique du second ordre sans la même moyenne

Soit et G deux distributions de même moyenne. F est dite deuxième ordre stochastique dominent ( • OSD ) G si ∫ u ( x ) d F ( x ) ≥ ∫ u ( x ) d G ( x ) pour l' ensemble croissant et concave u ( ⋅ ) .$F$$G$$F$$G$

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ $u(\cdot)$

Cette définition ci-dessus est équivalente à

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

On m'a dit que l'exigence que $F$ et $G$ aient la même moyenne n'est pas vraiment nécessaire. Supposons que $F$ et $G$ n'ont pas la même moyenne. Peut-on alors encore avoir l'équivalence entre $(1)$ et $(2)$ ?

NB J'ai pu montrer $(2)\Rightarrow (1)$ sans la même condition moyenne, mais pas l'inverse.

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$