Diamètre des graphes de Cayley de sous-groupes de sans inverses

Babai et Seress ont prouvé que, étant donné un sous-groupe et un groupe électrogène de , toute permutation dans peut être écrite comme un produit de générateurs et de leurs inverses de longueur . Cette borne est optimale puisque a un élément d'ordre . S G G e ( 1 + o ( 1 ) ) $G \leq S_n$$S$$G$$G$ Sne(1+o(1))$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$S_n$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Le fait classique que chaque élément de a de l'ordre au plus , combiné avec le résultat de Babai et Seress, montre que, étant donné un sous-groupe et un groupe électrogène de , toute permutation dans peut être écrite comme un produit de générateurs de longueur au plus .e ( 1 + o ( 1 ) ) $S_n$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$G \leq S_n$$S$$G$$G$$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Pouvons-nous améliorer la limite supérieure en ?$e^{2(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$$e^{(1+o(1))\sqrt{n\log n}}$

Cette question a été inspirée par la question récente Automates et une sorte de lemme de pompage sur la fonction de transition d'état .

La réponse est oui, nous pouvons améliorer la limite supérieure à . Il a été prouvé dans un plus récentpapierde Babai (Corollaire 2.9).$\mathrm{e}^{(1 + o(1))\sqrt{n\ln n}}$