Difficulté à comprendre l'algorithme quantique pour le problème des sous-groupes cachés abéliens

J'ai du mal à comprendre les dernières étapes de l'algorithme AHSP. Soit soit un groupe abélien et f soient la fonction qui cache le sous - groupe H . Laissez G * représente le double groupe de G .$G$$f$$H$$G^*$$G$

Voici les étapes de l'algorithme

1. Préparez d'abord l'état,

   .$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$

2. Appliquez ensuite l'oracle quantique qui évalue sur I , nous obtenons$f$$I$

   .$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$

3. Maintenant, mesurez le deuxième qubit de , nous obtenons$I'$

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   pour certains .$r \in G$

4. Maintenant, nous appliquons la transformée de Fourier quantique sur le premier qubit, nous obtenons

   ,$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

   où .$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Maintenant, à partir de l'état où comment pouvons-nous obtenir des générateurs du groupe H ?$I_m$$H$

Ce post-traitement classique exploite plusieurs propriétés théoriques de groupe non triviales des groupes abéliens. J'ai écrit une explication didactique sur le fonctionnement de cet algorithme classique ici [1] ; d'autres bonnes sources à lire sont [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

$H$$H^{*}$

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Théorie des personnages

$G$$G$

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

$H$$H^*$$H$$H$

1. $H^*$$G$

2. $H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

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Équations linéaires sur des groupes

$X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$, de telle sorte que le problème ci-dessus puisse être ré-exprimé comme où nous supposons . $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ $Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

La dernière observation clé est qu'il existe des algorithmes classiques efficaces pour décider si ces systèmes admettent des solutions, les comptent et les trouvent (nous en étudions certains dans [1] ). L'ensemble des solutions est toujours de la forme , où est une solution particulière et est le noyau de (un sous-groupe de ). Ces algorithmes classiques peuvent trouver une solution particulière du système et calculer un groupe électrogène de . Ces algorithmes classiques font un usage crucial de Smith Normal Forms$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ pour réécrire le système sous une forme presque diagonale (quelques autres étapes intermédiaires sont nécessaires, mais cela devrait vous donner l'image intuitive).

Le système d'équations que vous obtenez dans votre cas code pour le sous - groupe caché . Il est en particulier de la forme , pour un certain homomorphisme de groupe . Le noyau de est précisément le sous-groupe caché. Une solution particulière dans ce cas est 0, la plus triviale.$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

Après votre étape 4, mesurer dans la base de calcul nous donnera au hasard un . χ ∈ G $I_m$$\chi \in G^*$

Nous réitérons ensuite toutes les étapes que vous avez donnés fois pour obtenir une liste de caractères dans le double groupe de . Cette liste de caractères génère un sous-groupe du double groupe .n G K G $n$$n$$G$$K$$G^*$

Nous vérifions ensuite par (classique) tous les sous - groupes possibles en trouver un où est . H ∗$H$$H^*$$K$

Pour fixe, ce n'est pas toujours une correspondance unique, donc lorsqu'il y a dégénérescence, nous choisissons simplement la plus grande correspondance (car le sous-groupe trivial correspondra à toutes les listes de caractères).$n$