Existe-t-il des groupes avec des problèmes de mots en degrés P arbitraires?

On sait depuis longtemps que, compte tenu de tout degré de re Turing, il existe un groupe de présentation finie dont le problème de mots est à ce degré. Ma question est de savoir si la même chose est vraie pour les degrés de Turing à temps polynomial arbitraire . Spécifiquement, étant donné un ensemble décidable, , existe-t-il un groupe de présentation finie, avec un problème de mot, W , tel que W ≤ P T A et A ≤ P T W ? Je serais également disposé à me détendre présenté de manière finie à présenté récursivement.$A$$W$$W\leq_T^P A$$A\leq_T^P W$

Je soupçonne que la réponse est oui, et j'ai entendu d'autres dire qu'ils avaient lu cela quelque part, mais je n'ai pas été en mesure de rechercher une référence.

Je pense que cela n'est pas connu. (Je m'excuse - je pense que j'étais aussi l'une des personnes qui ont dit que je me souvenais l'avoir lu quelque part.) Par exemple, je pense que Sapir-Birget-Rips, Annals of Math 2002 ont été les premiers à montrer l'existence d'un groupe avec problème de mots complets (qui serait une conséquence triviale du résultat demandé dans cette question). Leur corollaire 1.1 déclare:$\mathsf{NP}$

Il existe un groupe fini avec un problème de mots NP-complet. De plus, pour toutes les langues pour certains fini alphabet A , il existe un groupe finiment présenté G tel que la complexité temporelle non déterministe de G est polynomiale équivalente à la complexité temporelle non déterministe de L .$L \subseteq A^*$$A$$G$$G$$L$

Alors que la seconde moitié de ce corollaire est un peu dans un esprit similaire à cette question, il est loin de prouver que chaque -degree contient un problème de mots.$\leq_T^p$