Pourquoi les graphiques Ramanujan sont nommés d'après Ramanujan?

J'ai récemment enseigné aux expanseurs et introduit la notion de graphes Ramanujan. Michael Forbes a demandé pourquoi on les appelait ainsi, et j'ai dû admettre que je ne sais pas. N'importe qui?

Pour ajouter du contenu aux réponses ici, je vais expliquer brièvement quelle est la conjecture de Ramanujan.

Tout d'abord, la conjecture de Ramanujan est en fait un théorème, prouvé par Eichler et Igusa. Voici une façon de le dire. Soit $r_m(n)$ le nombre de solutions intégrales de l'équation quadratique $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Si $m=1$ , que $r_m(n) > 0$m r m ( n ) = c m Σ d | n d + O ( n 1 / deux + ε ) ε > 0 c m$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips et Sarnak ont ​​construit leurs expanseurs en fonction de ce résultat. Je ne connais pas les détails de leur analyse , mais l'idée de base, je crois, est de construire un graphe de Cayley de pour un premier que , en utilisant des générateurs déterminés par chaque somme de décomposition en quatre carrés de p , où p est un résidu quadratique modulo q . Ensuite, ils relient les valeurs propres de ce graphe de Cayley à r_ {2q} (p ^ k) pour les puissances entières k . $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

Une brève référence, autre que le document Lubotzky-Phillips-Sarnak lui-même, est la brève description de Noga Alon dans Tools from Higher Algebra .

Wikipedia fournit cette réponse assez rapidement. Citant

Les constructions de graphes Ramanujan sont souvent algébriques. Lubotzky, Phillips et Sarnak montrent comment construire une famille infinie de graphes Ramanujan -réguliers, chaque fois que est un nombre premier. Leur preuve utilise la conjecture Ramanujan , qui a conduit au nom des graphiques Ramanujan.$p+1$$p = 1 \mod 4$

Le document auquel il est fait référence est les graphiques de Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips et P. Sarnak, COMBINATORICA Volume 8, Numéro 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.