Une variation de l'écart impliquant des graphiques aléatoires

Supposons que nous ayons un graphe sur $n$ nœuds. Nous aimerions attribuer à chaque nœud soit un $+1$ soit un $−1$ . Appelons cela une configuration $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ . Le nombre de $+1$ s que nous devons attribuer est exactement $s$ (d'où le nombre de $−1$ s est $n−s$ .) Étant donné une configuration $\sigma$ , nous regardons chaque nœud $i$ et additionnons les valeurs attribuées à ses voisins, appelons ceci $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$ . Je me demande si ce problème ne semble familier à personne ou s'il peut être réduit à un problème connu en théorie des graphes. Si cela aide, le graphique peut être supposé être aléatoire de type Erdős-Renyi (disons G (n, p) avec une probabilité de bord , c'est-à-dire un degré moyen croissant comme ). L'instruction principale est dans le cas où .

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization passant51
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J'ai changé le titre, car ce que vous demandez est lié à des problèmes de divergence dans les espaces de plage. Ce n'est PAS cependant lié à un écart dans les graphiques (qui concerne davantage les écarts de densité des bords)

Suresh Venkat

borne simple: prendre au hasard; , où est le degré du sommet et est une constante. Donc, . Si disons et que le graphe est régulier, alors il existe tel que .

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

Sasho Nikolov

@Suresh: Merci. C'est ce que j'aime demander aux informaticiens, vous apprenez quelque chose de nouveau! Alors, où est le bon endroit pour en savoir plus sur les problèmes de divergence dans l'espace de plage? (Peut-être un court document concis?)

passant 51

@Sasho: Merci. Pour une raison quelconque, je ne vois pas correctement les équations (elles sont entrées en collision avec le texte environnant.) Je vais essayer de le lire et de vous revenir. Mais je dois mentionner que le régime intéressant pour moi est et le problème semble devenir plus difficile à mesure que approche . (Cela est dû à la symétrie dans le problème d'origine d'où cela vient.) Je ne pense pas que regarder un aléatoire le ferait pour .

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

passerby51

La supposition / espoir est que pour disons G (n, p) avec ou . Je viens de réaliser la faute de frappe dans mon article d'origine concernant . Désolé pour ça. Le degré moyen augmente comme pas .

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

passant51

Réponses:

Vous pouvez aborder cela avec un calcul de «méthode du second moment», similaire à celui que j'ai utilisé dans Un seuil net pour un problème de satisfaction de contraintes aléatoires , Discrete Mathematics 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Lorsque le degré moyen croît comme un temps constant suffisamment grand , cette approche a souvent été suffisante pour trouver précisément le seuil de satisfiabilité. Il pourrait également montrer la fraction des clauses qui peuvent être satisfaites dans un cas insatisfaisant, bien que je n'aie pas étudié cela. $\log n$

Pour que votre problème ressemble davantage à mon problème général, vous pouvez le voir comme un "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" avec une structure graphique spéciale sous-jacente aux clauses de la formule CNF. Je ne pense pas que cette structure spéciale aidera dans le pire des cas, cependant, et puisque la taille de votre clause n'est pas uniforme et que votre "mauvais" ensemble d'affectations s'agrandit, vous devrez passer par le calcul et voir si cela fonctionne encore.

Abraham D Flaxman
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regarder cela comme un CSP semble en effet mieux convenir que le voir comme un problème de divergence

Sasho Nikolov

Je vous remercie. Cela semble très intéressant. Je vais y jeter un œil.

passerby51

Permettez-moi de développer mon commentaire. Tout d'abord, cela est similaire à un écart, mais bien sûr différent à plusieurs égards. Étant donné un système de ensembles , l'écart du système est . Notons. Votre définition diffère en ce que vous voulez savoir combien d’ensembles est positif et l’écart demande quelle est la taille de dans le pire des cas. Pour une introduction rapide, mes notes de scribe peuvent peut-être vous aider. Chazelle a un joli livre qui rentre dans les détails. $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

Pour une borne inférieure probabiliste facile lorsque , comme dans mon commentaire, étant donné un graphique avec la séquence de degrés , vous pouvez choisir uniformément au hasard à partir de toutes les séquences avec (les ne sont pas indépendants, mais il devrait être possible de prouver une borne de Chernoff dans ce cas aussi). Nous avons et, par une borne Chernoff, pour une constante . Donc . Il existe donc un certain $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$ qui atteint cette limite.

EDIT: Semble que vous êtes intéressé par le cas . Choisissons au hasard de la même manière que dans le paragraphe précédent. En utilisant une version du théorème de la limite centrale pour l'échantillonnage sans remplacement ( est un échantillon de taille sans remplacement à partir des sommets du graphe), vous devriez pouvoir montrer que se comporte comme un gaussien avec une moyenne et variance autour de , donc pour certains C et un paramètre d'erreur du théorème central limite. On devrait avoir $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ , vous pouvez donc prendre . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Avertissements: cela n'a de sens que si sont constants / petits ou est très proche de . De plus, les calculs sont quelque peu heuristiques et ne sont pas très soigneusement effectués. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

Sasho Nikolov
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Merci pour les bons liens et l'argument. J'aime l'argument probabiliste, mais je pense qu'il y a quelque chose qui ne va pas avec votre limite. Vous pouvez le voir, en définissant , pour lequel nous devrions avoir . Il semble que c'est ce qui s'est mal passé: si vous choisissez uniformément au hasard dans l'ensemble spécifié dans le problème, chaque a prob. d'être et prob. de d'être . Par conséquent, qui est négatif pour ...

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

passant51

Le ne sera pas indépendant et à proprement parler nous ne pouvons pas utiliser l'inégalité de Hoeffding par exemple. Mais ignorons ce détail mineur et supposons-les iid. Ensuite, la limite serait qui vaut pour . Nous ne pouvons pas définir pour obtenir .

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

passerby51

désolé, j'aurais dû préciser que: l'hypothèse ici était que . sinon cela n'a aucun sens et vous avez besoin de quelque chose de plus fort comme Berry-Esseen. je pense que le peut être supposé être essentiellement indépendant

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

Sasho Nikolov

@ passerby51 a ajouté une esquisse sur la façon dont vous pourriez essayer d'utiliser une version quantitative du théorème de la limite centrale pour étendre la limite probabiliste à .

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

Sasho Nikolov