Besoin d'une source fiable pour la formule de la forme de l'horizon terrestre

Ce que je demande

Je souligne que je ne demande pas la formule --- je connais la formule et comment la dériver. Plusieurs versions différentes de celui-ci sont reproduites vers la fin de l'article. En fait, quelqu'un d'autre ne l'a pas seulement dérivé, mais a également présenté une des dérivations ici .

Ce dont j'ai besoin, c'est d'une source fiable pour la formule afin que, par exemple, on puisse la mettre sur Wikipédia sans violer son interdiction de rapporter des recherches originales. [Les gens ont effectivement essayé ... Mais l' article pertinent a un éditeur très consciencieux qui a supprimé la section au motif qu'il s'agissait d'une recherche originale ... et, bien, malheureusement, l'éditeur a raison, donc il n'y a pas grand chose à essayer pour le combattre.]

La raison pour laquelle je poste dans l'infographie stackexchange

Étant donné que quelqu'un ici pourrait avoir modélisé l'apparence de la Terre en orbite, il pourrait peut-être savoir si cette formule (ou, plus probablement, une généralisation de celle-ci) est publiée dans un livre, un journal ou des actes de conférence ou des notes de classe , etc.

J'ai fait le "due googling"

Veuillez comprendre que je ne demande à personne d'aller chercher la réponse en mon nom. J'ai déjà fait beaucoup de recherches sur Google et je ne poste ici qu'en dernier recours. Mon espoir (tiré par les cheveux) est que quelqu'un ici connaisse simplement une référence dès le départ; sinon ... eh bien, j'espère au moins que vous avez apprécié la jolie image ci-dessous (si je le dis moi-même, en pleine conscience, je parle aux personnes intéressées par l' informatique de toutes choses) avant de passer à plus grand et mieux des choses.

Deux sources qui se rapprochent

1. DK Lynch, «Discerner visuellement la courbure de la Terre», Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Il est disponible gratuitement ici . Malheureusement, au lieu de le faire correctement (ce qui n'est pas si difficile), l'auteur a opté pour un hack, que (a) je ne comprends pas complètement, et (b) qui n'est pas d'accord avec ce que je sais être la bonne formule.

2. R. Hartley et A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, 2e éd. (Cambridge University Press, Cambridge UK, 2004). Dans Sec. 8.3, "Action d'une caméra projective sur les quadriques", nous lisons :

Supposons que le quadrique soit une sphère, alors le cône de rayons entre le centre de la caméra et le quadrique est circulaire, c'est-à-dire que le générateur de contour est un cercle, avec le plan du cercle orthogonal à la ligne joignant les centres de la caméra et de la sphère. Cela peut être vu à partir de la symétrie de rotation de la géométrie autour de cette ligne. L'image de la sphère est obtenue en coupant le cône avec le plan d'image. Il est clair qu'il s'agit d'une section conique classique, de sorte que le contour apparent d'une sphère est une conique.

En principe, ce serait exactement ce qui est nécessaire, si seulement un peu plus d'informations étaient incluses --- au moins une expression pour l'excentricité de la conique en fonction de la distance à la sphère et du rayon de la sphère (dans le cas lorsque le plan image est perpendiculaire à une génératrice du cône, comme c'est le cas lorsque la caméra sténopé est dirigée sur un point de l'horizon).

Détails sur la formule pour laquelle j'ai besoin d'une référence scientifique

Nous supposons une Terre parfaitement sphérique, parfaitement lisse et sans atmosphère. Nous pointons une caméra sténopé idéalisée à l'horizon et, en utilisant une projection centrale directe, calculons la forme de l'image de l'horizon à l'arrière de la caméra (c'est-à-dire la forme qu'elle aura sur le film --- le "plan du film") . Voici un graphique (réalisé en Asymptote , pour les personnes intéressées) qui devrait rendre cela plus clair:

Comme nous l'avons vu ci-dessus, l'image de l'horizon est une partie d'une section conique. Soit l'excentricité de la conique; la dérivation que j'ai mentionnée ci-dessus utilise à la place un paramètre k , qui est juste l'excentricité inverse: k = 1 / ε . L'excentricité elle-même est donnée par ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , oùε=h/Rest le rapport de la hauteurhdu trouépingle au-dessus de la surface de la Terre et le rayonTerreR. [Au lieu d'utiliserϵ, qui est le rapport de l'altitudeàR, il peut être utile d'utiliserη, le rapport dela distance du sténopé au centre de la Terre,h+R, au rayon de la Terre:η=(R+h)/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . En termes de η , on a ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

La distance entre le trou d'épingle (point dans le graphique) et le plan du film est considérée comme une unité de longueur.$P$

L' axe des dans le plan du film est choisi pour être parallèle à la ligne joignant le centre de la Terre C (non représenté sur l'image) et le point sur l'horizon (étiqueté V sur l'image) auquel la caméra est entraînée. Ce choix est bien défini car la ligne C V doit être parallèle au plan du film. La raison en est que C V et le plan du film sont perpendiculaires à la ligne de visée P V (la ligne joignant P et V ). Et c'est parce que 1. la ligne P V est tangente à la Terre en V , donc perpendiculaire à$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ , et 2. P V est perpendiculaire au plan du film parce que l'appareil est formé à V . Le x axe est bien entendu perpendiculaire à l' y axe et se trouve dans le plan du film, et l'origine est choisie comme la projection du point V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

Avec ces définitions à l'écart, nous sommes prêts à écrire une représentation de la section conique qui est l'image de l'horizon de la Terre. Cela peut être écrit de plusieurs façons, dont certaines sont présentées ci-dessous. J'ai besoin d'une référence fiable pour l'une de ces formules ou pour une formule équivalente à celles-ci.

1. La formule explicite donnée dans la dérivation mentionnée ci-dessus

La dérivation que j'ai mentionnée ci-dessus donne ceci comme version finale:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Représentons cela de deux façons supplémentaires.

2. Expression en termes d'équation canonique d'une section conique

Dans ce cas, l'équation prend la forme suivante :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

$\mu=\varepsilon$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Expression en termes de `` forme standard '' d'une section conique

Ce formulaire est peut-être le plus familier:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Elle est liée aux paramètres entrant dans l'équation canonique (voir 2. ci-dessus) comme suit:

$x_{0}=0$

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Expression en termes de courbe paramétrique

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Pour savoir comment utiliser ces formules, voir ceci .

En conclusion...

Quelqu'un a-t-il vu les formules ci-dessus dans une source réputée, peut-être dans le contexte de la modélisation de l'apparence de la Terre depuis l'espace? Si oui, pourriez-vous me faire savoir quelle était cette source?

Merci!

La courbe que vous recherchez n'est que l'intersection d'un plan (l'arrière de la caméra) et d'un cône circulaire droit. Ce n'est pas vraiment une question sur la terre, ou des vues de planètes depuis l'espace; c'est tout simplement une géométrie de coordonnées 3D simple. Pour trouver une référence, je recommanderais de rechercher "intersection d'un plan et d'un cône" ou "section plane d'un cône", ou "section plane d'un quadrique", quelque chose comme ça.

Je m'attends à ce que vous puissiez trouver les formules (et dérivations) pertinentes dans n'importe quel texte standard sur la géométrie des coordonnées 3D. Certains endroits probables sont:

• Saumon - Un traité sur la géométrie analytique en trois dimensions
• Somerville - Géométrie analytique en trois dimensions
• Snyder et Sisam - Géométrie analytique de l'espace

Ce sont tous de très vieux livres, et vous pourriez avoir du mal à les trouver.

Vous pouvez également essayer de demander Math.StackExchange.

Appeler la dérivation «recherche originale» me paraît absurde. C'est un problème de devoirs au lycée en géométrie analytique.