Mon intuition a toujours été que lorsqu'une sphère est projetée dans l'espace 2D, le résultat sera toujours mathématiquement une ellipse (ou un cercle dans les cas dégénérés).

Dans le passé, quand je faisais activement ma propre programmation graphique et que j'en parlais à d'autres, ils étaient convaincus que j'avais tort. Si je me souviens bien, ils pensaient que le résultat pourrait être quelque chose de vaguement "en forme d'œuf".

Qui avait raison?

Puisqu'il y a déjà une réponse soumise, je ne souhaite pas changer totalement ma question mais je me rends compte que j'ai omis des détails importants en raison de la perte de familiarité avec le domaine au fil des ans.

J'avais l'intention de poser des questions spécifiques sur la projection en perspective où la projection est une application linéaire .

Les autres projections sont bien sûr intéressantes pour de nombreuses utilisations, je ne voudrais donc pas qu'elles soient supprimées à ce stade. Mais ce serait bien si les réponses pouvaient avoir une projection en perspective comme section la plus importante.

En supposant une projection en perspective et un point de vue extérieur à la sphère, la «frontière» formée par le point de vue et le cercle sur la sphère qui forme l'horizon WRT du point de vue, sera un cône.

Faire une projection en perspective (sur un plan) équivaut alors à couper ce cône avec le plan qui produit ainsi une section conique. Pour info les quatre cas non dégénérés sont montrés dans cette image de Wikipedia

Une ellipse / cercle est donc une possibilité, mais pas la seule - des paraboles ou des hyperboles illimitées (et je suppose que si l'avion passe dans l'œil, même des cas dégénérés) sont possibles.

Cela ressemble plus à un long commentaire à la réponse de @ SimonF que j'essaie de rendre quelque peu autonome.

Toutes les coupes de cône sont possibles, hyperbole, parabole et ovales. Ceci est facile à tester en dessinant des images dans un moteur 3D avec une caméra extrêmement grand angle. Faites pivoter l'appareil photo pour indiquer un angle de 30 degrés afin que l'objet ne soit pas au centre de votre mise au point. Ensuite, rapprochez progressivement la caméra de la sphère.

Image 1: Vol très près d'une sphère légèrement latérale. Remarquez comment nous perforons soudainement la surface à l'intérieur.

Donc pour récapituler lorsque la sphère est très proche donc elle sort de l'image en image large ça peut être une parabole ou une hyperbole. Mais la forme sortira juste du cadre pour le faire.

Les systèmes de projection sont utilisés pour convertir une forme 3D en une forme plane (2D).

Selon le type de système de projection, différents résultats et formes comme des rectangles, des tartes, des ellipses, des cercles, ... peuvent être produits à partir d'une sphère.

Les systèmes de projection peuvent être classés selon les caractéristiques du résultat qu'ils génèrent.

Pour continuer, je voudrais utiliser un exemple très sensible et commun que nous avons tous vu auparavant, la sphère terrestre et les cartes mondiales, elles sont partout.

Supposons que votre sphère soit la terre!

Imaginez la terre comme votre sphère et une carte du monde planaire créée à partir de la forme sphérique de la terre. Dans la plupart des cartes du monde, vous voyez que les pays proches des pôles deviennent beaucoup plus grands qu'ils ne le sont en réalité, comme l'Islande qui représente 1/14 du continent africain en réalité, mais la carte les montre tous les deux comme égaux. En effet, lorsque nous omettons une dimension, nous perdons une caractéristique de nos formes.

Différents systèmes de projection et leurs résultats

Il s'agit d'une projection plane qui ne conserve pas la distance, les angles ou la zone. Les cercles rouges montrent la quantité d'exagération qui est le produit de cette projection.

Equal-Area, regardez l'Islande et l'Afrique dans celui-ci et comparez avec ci-dessus.

Les systèmes de projection peuvent être classés selon ce qu'ils conservent.

1. Zone égale.
2. Angle égal qui préserve la forme sans distorsion (conforme).
3. Distance égale.
4. ......

Les projections conformes préservent les formes mais la zone ne sera pas préservée (la première image ci-dessus), celle-ci est le système de projection le plus célèbre utilisé dans de nombreuses applications. Votre sphère est un rectangle ici!

Vous ne pouvez donc pas dire qu'une sphère sera toujours projetée sur une ellipse. Comme mentionné ci-dessus, une sphère peut être projetée sur un rectangle (première forme) ou peut être une ellipse mais avec des caractéristiques différentes (angle égal, distance, forme, zone - voir l'image suivante), ou vous pouvez également projeter une sphère en conique puis ouvrez la conique pour avoir une tarte.

Chacun des systèmes de projection ci-dessus peut être appliqué avec des algorithmes itératifs ou directs qui peuvent être trouvés sur Internet. Je n'ai pas parlé de la formule et des transformations parce que tu n'as pas demandé. Bien que je souhaite que vous trouviez cette réponse utile.

Dans les projections en perspective, je dis oui, seules les ellipses seront produites à partir de sphères

La coupe d'une conique avec un plan horizontal crée un cercle.

La coupe avec un plan oblique crée un biseau qui serait une ellipse ou une hyperbole selon l'angle de coupe, et lorsque cet angle inclinerait pour être vertical, créerait une parabole (image suivante).

C'est peut-être évident, mais jetez un œil à leurs équations.

Pour simplifier, j'ai supposé que toutes les géométries sont centrées sur l'origine.

Équations:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

Morphologie :

Une ellipse a évidemment deux foyers. Un cercle comme une forme particulière d'ellipse a aussi deux foyers mais ils coïncident. Une hyperbole est cependant un miroir d'axe de ses ellipses égales et elle a aussi deux foyers. Une parabole a un foyer mais en fait elle en a deux parce que le second est à l'infini: lorsque le plan de coupe s'incline à 90 degrés (angle d'appui), le deuxième foyer va à l'infini.

Conclusion

Comme vous le voyez, tous sont des ellipses, mais vous pouvez les nommer différemment pour décrire des cas spéciaux, mais si vous allez l'implémenter dans un jeu, vous devez supposer une équation d'ellipse et cela suffit. Je ne peux pas dire lequel d'entre vous a raison, vous ou votre ami, car les deux pourraient avoir raison.

Le raisonnement de SimonF m'a essentiellement convaincu, mais j'ai décidé de faire un examen de santé mentale. J'ai chargé un niveau UE4 qui se trouve avoir quelques sphères, comme celle-ci:

J'ai réglé le champ de vision de la caméra sur 160 degrés pour donner beaucoup de distorsion en perspective, et je l'ai positionné de sorte que la sphère soit proche du coin de l'image:

Ensuite, j'ai pris cela dans Inkscape et utilisé l'outil ellipse pour dessiner dessus:

Surprise! C'est un ajustement parfait!

Aucune parabole ou hyperbole ne se forme lors du découpage d'une sphère. Il n'y a pas non plus d'ellipses à l'exception du cas spécial qui est un cercle. Le résultat est toujours un cercle. Si vous projetez la sphère sur un plan incliné, vous obtenez une ellipse