Combien de ces postes existe-t-il? (puzzle d'échecs / échec et mat mathématiques)

Je suis intéressé par ce genre de poste:

Il n'y a que 4 pièces sur le plateau. Si les Blancs vont en premier, ils peuvent échouer en un coup. Si les Noirs vont en premier, ils peuvent échouer en un coup. Par exemple:

La question est: combien y a-t-il de tels postes?

Je trouve 3 postes principaux:

Chacun d'eux nous donne 6 autres postes. Nous pouvons déplacer la position de départ de la Reine noire sur 6 autres 6 cases. Nous avons donc 21 postes de base.

Y a-t-il d'autres postes de base?

Pour chaque poste de base, nous pouvons:

1) changer la couleur x2

2) tournez la planche x4

3) position du miroir x2

Une position de base génère donc 2x4x2 = 16 positions. Et la réponse finale est: il y a 16x21 = 336 positions.

Est-ce correct?

Votre deuxième position de base permet 4 variantes de plus que celles que vous avez déjà indiquées, indiquées par le schéma suivant:

Cela porte le nombre de "postes de base" à 25. Que cet ajout rende la liste exhaustive ou non, je ne suis pas complètement sûr (même si je pense que oui).

Dans tous les cas, quel que soit le nombre de positions de base, votre extrapolation du nombre total de positions à partir de là (x2 pour le changement de couleur et x8 pour les transformations de l'échiquier) est correcte puisque le groupe de symétrie de l'échiquier a bien l'ordre 8 , comme confirmé à la p.334 de ce chapitre du Handbook of Constraint Programming , par exemple. (Cependant, il faut faire attention à ne pas trop compter ici; voir ci-dessous.) Donc, pour le moment, je suppose que la réponse est 25 x 16 = 400.

J'ajoute cette digression mathématique parce que je vois dans votre profil que vous êtes intéressé à poursuivre une étude plus approfondie des mathématiques. Je ne dis peut-être rien ici dont vous n'êtes pas déjà au courant, mais c'est quand même le cas.

Notez qu'il existe des positions d'échecs qui sortiront identiques sous différentes symétries du plateau. Par exemple, considérons l'acte de réfléchir à travers la diagonale a1-h8. Cette symétrie de la carte changera généralement une position donnée, par exemple

devient

Mais bien sûr, certaines positions (à savoir celles qui n'ont que des pièces sur la diagonale a1-h8) ne changent pas sous cette symétrie, par exemple la position

reste inchangé lorsque nous réfléchissons à travers cette diagonale.

En raison de ce type de comportement, il faut généralement faire attention à ne pas trop compter dans ce type de problème de comptage. Pour votre problème, cela signifie être sûr qu'aucune de vos positions de base ne se répète sous l'une des symétries (de non-identité), de sorte que notre "x 16" lors de l'obtention du nombre total de positions à partir du nombre de positions de base n'est pas comptage excessif. Dans le cas présent, vos positions de base sont suffisamment compliquées / asymétriques pour qu'il soit intuitivement clair qu'aucune d'elles ne sera répétée sous ces symétries, donc il n'y a rien à craindre, mais en mathématiques, c'est souvent lorsque les choses sont "intuitivement claires" qu'il faut soyez le plus inquiet des erreurs. (En fait, il y a un dicton qui dit que si vous voulez trouver des erreurs dans une preuve mathématique, commencez par n'importe où il dit: "Il est clair que ...")