Le chi carré peut-il être utilisé pour comparer des proportions?

J'ai lu que le test du chi carré est utile pour voir si un échantillon est significativement différent d'un ensemble de valeurs attendues.

Par exemple, voici un tableau des résultats d'une enquête concernant les couleurs préférées des gens (n ​​= 15 + 13 + 10 + 17 = 55 répondants au total):

red,blue,green,yellow

15,13,10,17

Un test du chi carré peut me dire si cet échantillon est significativement différent de l'hypothèse nulle de probabilité égale de personnes aimant chaque couleur.

Question: Le test peut-il être exécuté sur les proportions de répondants totaux qui aiment une certaine couleur? Comme ci-dessous:

red,blue,green,yellow

0.273,0.236,0.182,0.309

Où, bien sûr, 0,273 + 0,236 + 0,182 + 0,309 = 1.

Si le test du chi carré ne convient pas dans ce cas, quel serait le test? Merci!

Edit: J'ai essayé la réponse de @Roman Luštrik ci-dessous, et j'ai obtenu la sortie suivante, pourquoi ne reçois-je pas une valeur de p et pourquoi R dit "l'approximation du chi carré peut être incorrecte"?

> chisq.test(c(0,0,0,8,6,2,0,0),p = c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0) 
X-squared = NaN, df = 7, p-value = NA

Warning message:
In chisq.test(c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0), p = c(0.406197174, 0.088746395,  :
  Chi-squared approximation may be incorrect

Corrigez-moi si je me trompe, mais je pense que cela peut être fait dans R en utilisant cette commande

> chisq.test(c(15,13,10,17))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 1.9455, df = 3, p-value = 0.5838

Cela suppose des proportions de 1/4 chacune. Vous pouvez modifier les valeurs attendues via un argument p. Par exemple, vous pensez que les gens peuvent préférer (pour quelque raison que ce soit) une couleur aux autres.

> chisq.test(c(15,13,10,17), p = c(0.5, 0.3, 0.1, 0.1))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 34.1515, df = 3, p-value = 1.841e-07

En utilisant les informations supplémentaires que vous avez fournies (étant donné que certaines des valeurs sont 0), il est assez évident pourquoi votre solution ne renvoie rien. D'une part, vous avez une probabilité de 0, donc:

• dans la solution d'Henry est 0 pour au moins un i$e_i$
• dans la solution de probabilitéislogique est 0 pour au moins un i$np_i$

Ce qui rend les divisions impossibles. Maintenant, dire que signifie qu'il est impossible d'avoir ce résultat. Si c'est le cas, vous pouvez tout aussi bien l'effacer des données (voir le commentaire de @cardinal). Si vous voulez dire hautement improbable, une première «solution» pourrait être d'augmenter cette chance 0 avec un très petit nombre.$p=0$

Donné :

X <- c(0,0,0,8,6,2,0,0)
p <- c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0)

Vous pourriez faire :

> p2 <- p + 1e-6
> chisq.test(X,p2)

        Pearson's Chi-squared test

data:  X and p2 
X-squared = 24, df = 21, p-value = 0.2931

Mais ce n'est pas un résultat correct. Dans tous les cas, il faut éviter d'utiliser le test du chi carré dans ces cas limites. Une meilleure approche consiste à utiliser une approche bootstrap, à calculer une statistique de test adaptée et à comparer celle de l'échantillon avec la distribution obtenue par le bootstrap.

Dans le code R, cela pourrait être (étape par étape):

# The function to calculate the adapted statistic.
# We add 0.5 to the expected value to avoid dividing by 0
Statistic <- function(o,e){
    e <- e+0.5
    sum(((o-e)^2)/e)
}

# Set up the bootstraps, based on the multinomial distribution
n <- 10000
bootstraps <- rmultinom(n,size=sum(X),p=p)

# calculate the expected values
expected <- p*sum(X)

# calculate the statistic for the sample and the bootstrap
ChisqSamp <- Statistic(X,expected)
ChisqDist <- apply(bootstraps,2,Statistic,expected)

# calculate the p-value
p.value <- sum(ChisqSamp < sort(ChisqDist))/n
p.value

Cela donne une valeur de p de 0, ce qui est beaucoup plus en ligne avec la différence entre observé et attendu. Attention, cette méthode suppose que vos données proviennent d'une distribution multinomiale. Si cette hypothèse ne tient pas, la valeur de p ne tient pas non plus.

Le test du chi carré est bon tant que les comptes attendus sont importants, généralement au-dessus de 10, c'est bien. en dessous de ce tendance à dominer le test. Une statistique de test exacte est donnée par:$\frac{1}{E(x_{i})}$

Où est le nombre observé dans la catégorie i . i ∈ { rouge, bleu, vert, jaune } dans votre exemple. n est la taille de votre échantillon, égale à 55 dans votre exemple. p i est l'hypothèse que vous souhaitez tester - la plus évidente est p i = p j (toutes les probabilités sont égales). Vous pouvez montrer que la statistique du chi carré:$x_{i}$$i$$i\in \{\text{red, blue, green, yellow}\}$$n$$55$$p_i$$p_i=p_j$

En termes de fréquences observées on obtient:$f_{i}=\frac{x_{i}}{n}$

χ2=n∑i(fi-pi)

(Notez que est effectivement la divergence KL entre l'hypothèse et les valeurs observées). Vous pourrez peut-être voir intuitivement pourquoi ψ est meilleur pour les petits p i , car il a un $\psi$$\psi$$p_{i}$$\frac{1}{p_{i}}$$\psi$

$H_{1}$$H_{2}$$p_i$$\psi_{1}$$\psi_{2}$$\exp\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right)$$H_{2}$$H_{1}$$\exp\left(\frac{1}{2}\chi_{1}^{2}-\frac{1}{2}\chi_{2}^{2}\right)$

Maintenant, si vous choisissez $H_{2}$ to be the "sure thing" or "perfect fit" hypothesis, then we will have $\psi_{2}=\chi^{2}_{2}=0$, and thus the chi-square and psi statistic both tell you "how far" from the perfect fit any single hypothesis is, from one which fit the observed data exactly.

Final recommendation: Use $\chi_{2}^{2}$ statistic when the expected counts are large, mainly because most statistical packages will easily report this value. If some expected counts are small, say about $np_{i}<10$, then use $\psi$, because the chi-square is a bad approximation in this case, these small cells will dominate the chi-square statistic.

Yes, you can test the null hypothesis: "H0: prop(red)=prop(blue)=prop(green)=prop(yellow)=1/4" using a chi square test that compares the proportions of the survey (0.273, ...) to the expected proportions (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

The test statistic for Pearson's chi-square test is

If you write $o_i = \dfrac{O_i}{n}$ and $e_i = \dfrac{E_i}{n}$ to have proportions, where $n=\sum_{i=1}^{n} O_i$ is the sample size and $\sum_{i=1}^{n} e_i =1$, then the test statistic is is equal to

so a test of the significance of the observed proportions depends on the sample size, much as one would expect.