Quelle est la distribution de la distance euclidienne entre deux variables aléatoires normalement distribuées?

Supposons que deux objets dont l'emplacement exact sont inconnus, mais distribués selon des distributions normales avec des paramètres connus (par exemple, et . Nous pouvons supposer qu'il s'agit de deux normales normales à deux variables, telles que les positions sont décrites par une distribution sur les (c.-à-d. Que et sont les vecteurs contenant les coordonnées attendues pour et respectivement). Nous supposerons également que les objets sont indépendants.b ~ N ( v , t ) ) ( x , y ) m v ( x , y ) un $a \sim N(m, s)$$b \sim N(v, t))$$(x,y)$$m$$v$$(x,y)$$a$$b$

Est-ce que quelqu'un sait si la distribution de la distance euclidienne au carré entre ces deux objets est une distribution paramétrique connue? Ou comment dériver analytiquement le PDF / CDF pour cette fonction?

La réponse à cette question se trouve dans le livre Formes quadratiques en variables aléatoires de Mathai et Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Comme les commentaires précisent, vous devez trouver la distribution de où z = a - b suit une distribution normale bivariée avec une moyenne μ et de covariance matrice Σ . Il s’agit d’une forme quadratique dans la variable aléatoire bivariée z .$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

En bref, un bon résultat général pour le cas de dimension où z ~ N p ( μ , Σ ) et Q = p Σ j = 1 z 2 j est que la fonction de génération de moment est E ( e t Q ) = e t Σ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ oùλ1,...,λpsont les valeurs propres deΣetbest une fonction linéaire deμ. Voirthéorème 3.2a.2 (page 42) dans le livre précité (nous supposons ici queΣest non singulier). Une autre représentation utile est 3.1a.1 (page 29) Q=p∑j= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ où u 1 , … , u p sont iid N ( 0 , 1 ) . $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

L'ensemble du chapitre 4 du livre est consacré à la représentation et au calcul des densités et des fonctions de distribution, ce qui n'est pas du tout trivial. Je ne connais que superficiellement le livre, mais j’ai l’impression que toutes les représentations générales sont exprimées en termes d’extensions de séries infinies.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Deuxièmement, recherchez la distribution de la longueur du vecteur de différence, ou la distance radiale à l'origine, qui est distribuée par Hoyt :

Le rayon autour de la moyenne vraie dans une variable aléatoire normale corrélée à deux variables avec des variances inégales, réécrit en coordonnées polaires (rayon et angle), suit une distribution de Hoyt. Les pdf et cdf sont définis sous forme fermée, la recherche de racine numérique étant utilisée pour trouver cdf ^ −1. Réduit à la distribution de Rayleigh si la corrélation est 0 et les variances sont égales.

Une distribution plus générale se produit si vous autorisez une différence biaisée (origine décalée), de Ballistipedia :

Pourquoi ne pas le tester?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))