Supposons que j'ai une série chronologique d'observations et que je calcule une mesure de la variance de cette série chronologique sous la forme de l'écart-type (SD) dans une fenêtre mobile de largeur et que cette fenêtre est déplacée par pas de temps uniques sur la série. Supposons en outre que , où est le nombre d'observations, et que la fenêtre est alignée à droite; Je dois observer les valeurs de la série avant de commencer à produire des estimations de fenêtre mobile de l'écart-type de la série chronologique.
Existe-t-il une forme attendue pour l'ACF de la nouvelle série chronologique de valeurs SD? Je suppose que la dépendance des valeurs précédentes se rapportera à la fenêtre avec , mais l'ACF d'une telle série est-il lié à l'ACF d'un processus ?
Contexte
J'essaie de réfléchir aux implications de la dérivation d'une série temporelle de la variance de la série temporelle d'origine via des fenêtres mobiles. Après avoir calculé la série dérivée de valeurs SD, l'étape suivante qui est généralement appliquée consiste à voir s'il y a une certaine tendance dans la série dérivée de valeurs SD. Comme chaque valeur de la série dérivée dépend dans une certaine mesure des valeurs précédentes de la série d'origine, les valeurs de la série dérivée ne sont pas indépendantes. Ainsi, une question qui revient fréquemment est de savoir comment expliquer ce manque d'indépendance.
De tels calculs (les fenêtres mobiles) sont souvent effectués sur des séries chronologiques pour rechercher des preuves d'indicateurs (augmentation de la variance, augmentation du coefficient AR (1)) de la réponse seuil imminente (transitions dites critiques).
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Réponses:
L'ACF de l'écart-type de roulement ne peut généralement pas être obtenu à partir de l'ACF de la série chronologique, car l'écart-type de roulement est fondamentalement un filtre non linéaire.
Pour éviter les effets de limites, prenez(Xt)t ∈ Z être un processus stationnaire doublement infini avec une moyenne de 0. Si je comprends bien le calcul de la fenêtre mobile, nous introduisons l'estimateur de la variance mobile
De toute évidence, les calculs ci-dessus sont idéalisés, car nous utiliserions probablement aussi une moyenne mobile dans la pratique pour centrer la série chronologique. À mon avis, cela gâcherait encore plus les calculs explicites.
Avec des hypothèses explicites sur la série temporelle (structure ARCH ou distribution gaussienne), il y a une certaine chance que vous puissiez calculer l'ACF pour le processus au carré, et à partir de cela l'ACF pour la variance glissante.
À un niveau plus qualitatif, la variance de roulement et l'écart-type de roulement hériteront de l'ergodicité et de diverses propriétés de mélange de la série temporelle elle-même. Ceci est utile si vous souhaitez appliquer des outils généraux à partir d'analyses de séries temporelles (non linéaires) et de processus stochastiques pour évaluer si l'écart-type glissant est stationnaire (ce qui, je crois, présente un intérêt).
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