Une distribution multivariée avec une matrice de covariance singulière peut-elle avoir une fonction de densité?

Supposons qu'une distribution multivariée sur ait une matrice de covariance singulière. Peut-on en conclure qu'il n'a pas de fonction de densité?$\mathbb R^n$

Par exemple, c'est le cas pour la distribution normale multivariée, mais je ne sais pas si c'est vrai pour toutes les autres distributions multivariées.

C'est, je pense, une question de l'existence d'un dérivé de Radon-Nikodym par rapport à la mesure de Lebesgue sur , mais la théorie des probabilités élémentaires peut aussi avoir la réponse.$\mathbb R^n$

Une matrice de covariance singulière signifie qu'il existe une combinaison linéaire des variables aléatoires telles que et . Ainsi, toute la masse de probabilité se trouve dans un hyperplan de défini par et donc les variables aléatoires ne peuvent pas avoir une fonction de densité à variables.$Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$$n$$E[Y] = a_0$$\operatorname{var}(Y) = 0$$\mathbb R^n$$\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$$n$$n$

Oui, mais ce sera une distribution de probabilité sur un sous-espace de dimension inférieure. Vous pourriez faire valoir qu'il s'agit d'une distribution de probabilité dans R ^ N si vous autorisez des choses comme les fonctions delta dirac. C'est un problème mathématique subtil, mais les physiciens, par exemple, le font tout le temps.

Bien que cela soit mentionné ci-dessus, je tiens à préciser que bien qu'il puisse ne pas avoir de densité significative sur vous pouvez définir la densité sur un sous-espace dimensionnel ( ), où désigne la matrice de covariance.$\mathbb{R}^{n}$$\Sigma$$\Sigma$