Probabilité de tirer une boule noire dans un ensemble de boules noires et blanches avec des conditions de remplacement mixtes

8

Lorsqu'une balle noire est tirée, elle n'est pas remplacée dans le jeu, mais les boules blanches sont remplacées.

J'y ai pensé, avec les notations:

  • b , w le nombre initial de boules noires et blanches
  • xi=(bi)/(b+wi)

La probabilité de tirer une boule noire Pb(n) après n tirages:

Pb(0)=x0Pb(1)=(1x0)x0+x0x1Pb(2)=(1x0)2x0+x0x1(1x0)+x0x1(1x1)+x0x1x2Pb(n)=k=0n1(i=0kxii<=knk terms1xi)

Cette somme semble infinie avec n, même si certains termes sont nuls puisquexib=0

Sauf :b=1
Pb(n)=(1x0)nx0

Pour :b=2
Pb(n)=x0(1x1)n+x0x1i+j=n1(1x0)i(1x1)j

Existe-t-il une solution connue à ce problème?

caub
la source

Réponses:

5

Soit le nombre initial de boules blanches et les boules noires . La question décrit une chaîne de Markov dont les états sont indexés par les nombres possibles de boules noires Les probabilités de transition sontwbi{0,1,2,,b}.

pw(i,i)=ww+i,pw(i,i1)=iw+i.

Le premier décrit le dessin d'une boule blanche, auquel cas ne change pas, et le second décrit le dessin d'une boule noire, auquel cas est réduit de .ii1

A partir de maintenant, laissons tomber l'indice explicite " ", en prenant cette valeur comme fixe tout au long. Les valeurs propres de la matrice de transition sontwP

e=(ww+bi, i=0,1,,b)

correspondant à la matrice donnée parQ

qij=(1)i+j+b(j+w)(bj)wjb(bji)(bi+w)bj1

dont l'inverse est

(q1)ij=wbi(jbi)(bj+w)ib(bbi).

C'est,

P=Q Diagonal(e) Q1.

Par conséquent, la distribution après transitions hors de l'état est donnée par le vecteur de probabilitésnb

pn=(0,0,,0,1)Pn=(0,0,,0,1)Q Diagonal(en) Q1.

Autrement dit, la chance qu'il reste boules noires après tirages estin

pni=j=0bqnjejn(q1)ji.

Par exemple, en commençant par un nombre quelconque de boules blanches et boules noires, la distribution de probabilité après tirages estb=2n1

Pr(i=2)=pn2=wn(2+w)nPr(i=1)=pn1=2wn1(1+w)n12wn1(1+w)(2+w)nPr(i=0)=pn0=12wn1(1+w)n1+wn1(2+w)n1.

Figure

Les courbes de cette figure suivent les probabilités des états (bleu), (rouge) et (or) en fonction du nombre de tirages lorsque ; c'est-à-dire que l'urne commence par deux boules noires et cinq boules blanches.i=0i=1i=2nw=5

L'état (à court de boules noires) est un état absorbant : dans la limite où croît sans limite, la probabilité de cet état s'approche de l'unité (mais ne l'atteint jamais exactement).i=0n

whuber
la source
très bien, donc (pour b = 2) le proba pour dessiner un noir après n tirages, est Pr (i = 2) * 2 / (w + 2) + Pr (i = 1) * 1 / (w + 1) ? les dimensions des matrices sont bxb non? et Pr (i) est pii?
caub
J'ai supprimé l'indice dans les formules finales, donc est par exemple. Les matrices ont des dimensions par . nPr(i=2)pn2,b+1b+1
whuber