Je fais un master en statistique et on me conseille d'apprendre la géométrie différentielle. Je serais plus heureux d'entendre parler des applications statistiques de la géométrie différentielle car cela me motiverait. Quelqu'un connaît-il des applications de la géométrie différentielle en statistique?
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Réponses:
Deux livres canoniques sur le sujet, avec des critiques, puis deux autres références:
Géométrie différentielle et statistiques , MK Murray, JW Rice
Méthodes de géométrie de l'information , S.-I. Amari, H. Nagaoka
Géométrie différentielle dans l'inférence statistique , S.-I. Amari, OE Barndorff-Nielsen, RE Kass, SL Lauritzen et CR Rao, IMS Lecture Notes Monogr. Ser. Volume 10, 1987, 240 pages.
The Role of Differential Geometry in Statistical Theory , OE Barndorff-Nielsen, DR Cox et N. Reid, International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique, Vol. 54, n ° 1 (avril 1986), pp. 83-96
la source
La géométrie riemannienne est utilisée dans l'étude des champs aléatoires (une généralisation des processus stochastiques), où le processus n'a pas à être stationnaire. La référence que j'étudie est donnée ci-dessous avec deux critiques. Il existe des applications en océanographie, en astrophysique et en imagerie cérébrale.
Champs aléatoires et géométrie , Adler, RJ, Taylor, Jonathan E.
http://www.springer.com/us/book/9780387481128#otherversion=9781441923691
Commentaires:
"Ce livre présente la théorie moderne des probabilités d'excursion et la géométrie des ensembles d'excursion pour ... des champs aléatoires définis sur des variétés. ... Le livre est compréhensible pour les étudiants ... avec une bonne formation en analyse. ... La nature interdisciplinaire de ce livre , la beauté et la profondeur de la théorie mathématique présentée en font un élément indispensable de chaque bibliothèque mathématique et une bibliothèque de tous les probabilistes intéressés par les processus gaussiens, les champs aléatoires et leurs applications statistiques. " (Ilya S. Molchanov, Zentralblatt MATH, Vol. 1149, 2008)
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La théorie des modèles est un domaine des statistiques / mathématiques appliquées où la géométrie différentielle est utilisée de manière essentielle (avec beaucoup d' autres domaines des mathématiques!) . Vous pouvez consulter le livre d'Ulf Grenander: https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Representation-Inference-European/dp/0199297061/ref=asap_bc?ie=UTF8 ou le texte un peu plus accessible de David Mumford (un médaillé de peloton pas moins): https://www.amazon.com/Pattern-Theory-Stochastic-Real-World-Mathematics/dp/1568815794/ref=pd_bxgy_14_img_2?_encoding=UTF8&pd_rd_i=1568815794_WP_K = LIesY & psc = 1 & refRID = Q40ESHME10ZPC7XYVT59
De la préface du dernier texte:
Un exemple où la géométrie différentielle est utilisée est pour les modèles de faces.
En essayant de répondre à la question (dans les commentaires) de @whuber, regardez le chapitre 16 du livre de Grenander, avec le titre "anatomie computationnelle". Là, les variétés sont utilisées pour représenter diverses parties de l'anatomie humaine (comme le foyer), et les difféomorhismes utilisés pour représenter les changements de ces variétés anatomiques, permettant la comparaison, la modélisation de la croissance, la modélisation de l'action de certaines maladies. Cette idée remonte au traité monumental de D'Arcy Thompson "sur la croissance et la forme" de 1917!
Grenander poursuit en citant ce traité:
L'exemple le plus connu de cette idée est quand un enfant a disparu, disons il y a trois ans, et que l'on publie une photo de son visage transformé (généralement à l'aide de splines) en ce à quoi il pourrait ressembler aujourd'hui.
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