On peut simplement utiliser le théorème de Boltzmann qui se trouve dans l'article même de Wikipédia que vous pointez .
Notez que spécifier la moyenne et la variance équivaut à spécifier les deux premiers moments bruts - chacun détermine l'autre (il n'est pas réellement nécessaire d'invoquer cela, car nous pouvons appliquer le théorème directement à la moyenne et à la variance, c'est juste un peu plus simple de cette façon ).
Le théorème établit alors que la densité doit être de la forme:
f(x)=cexp(λ1x+λ2x2) for all x≥0
L'intégrabilité sur la ligne réelle positive limitera à ≤ 0 , et je pense qu'il impose certaines restrictions sur les relations entre les λ s (qui seront vraisemblablement satisfaites automatiquement en partant de la moyenne et de la variance spécifiées plutôt que des moments bruts).λ2≤0λ
À ma grande surprise (puisque je ne m'y attendais pas quand j'ai commencé cette réponse), cela semble nous laisser avec une distribution normale tronquée.
En l'occurrence, je ne pense pas avoir utilisé ce théorème auparavant, donc des critiques ou des suggestions utiles sur tout ce que je n'ai pas considéré ou laissé de côté seraient les bienvenues.
Je veux rendre la réponse de @ Glen_b plus explicite, voici une réponse supplémentaire simplement parce qu'elle ne correspondrait pas à un commentaire.
Le formalisme, etc. est bien expliqué dans les chapitres 11 et 12 du livre de Jaynes . Prendre la distribution uniforme en tant que mesure de base, la solution générale, comme @Glen_b déjà dit, est une gaussienne Pour la variable non bornée, vous pouvez résoudre explicitement pour les multiplicateurs de Lagrange λ 1 et λ 2 en termes de valeurs de contrainte ( a1 , un 2 en l'article de Wikipedia). Avec un 1 = μ , un 2 = μ 2 + σ 2
Pour la variable bornée , I (et mathématique) ne peut plus résoudre explicitement pour λ 1 , 2 en raison du terme de fonction d'erreur qui apparaît lors du calcul de la fonction de partition ( 1 / c dans wikipedia). Cela signifie que les paramètres μ et σ 2 du gaussien tronqué ne sont pas la moyenne et la variance de la variable continue avec laquelle vous avez commencé. Il peut même arriver que pour x m i n = 0x>xmin λ1,2 1/c μ σ2 xmin=0 , le mode de la gaussienne est négatif! Bien sûr, les chiffres s'accordent tous à nouveau lorsque vous prenez .xmin→−∞
Si vous avez des valeurs concrètes pour , vous pouvez toujours résoudre pour λ 1 , 2 numériquement et brancher les solutions dans l'équation générale et vous avez terminé! Les valeurs de λ 1 , 2 du cas non borné peuvent être un bon point de départ pour le solveur numérique.a1,a2 λ1,2 λ1,2
Cette question est un doublon de /math/598608/what-is-the-maximum-entropy-distribution-for-a-continuous-random-variable-on-0
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