Oui, il existe un lien entre ces deux modèles de régression. En voici une illustration:
Supposons que l'aléa de référence soit constant dans le temps: . Dans ce cas, la fonction de survie esth0(t)=λ
S(t)=exp(−∫t0λdu)=exp(−λt)
et la fonction de densité est
f(t)=h(t)S(t)=λexp(−λt)
Ceci est le pdf d'une variable aléatoire exponentielle avec l'attente .λ−1
Une telle configuration donne le modèle de Cox paramétrique suivant (avec des notations évidentes):
hi(t)=λexp(x′iβ)
Dans le cadre paramétrique, les paramètres sont estimés en utilisant la méthode classique de vraisemblance. La log-vraisemblance est donnée par
l=∑i{dilog(hi(ti))−tihi(ti)}
où est l'indicateur d'événement.di
Jusqu'à une constante additive, ce n'est rien d'autre que la même expression que la log-vraisemblance des considérés comme des réalisations d'une variable de Poisson avec une moyenne .diμi=tihi(t)
Par conséquent, on peut obtenir des estimations en utilisant le modèle de Poisson suivant:
log(μi)=log(ti)+β0+x′iβ
où .β0=log(λ)