Spécification d'un modèle de différence dans les différences avec plusieurs périodes

Lorsque j’estime un modèle de différence dans les différences avec deux périodes, le modèle de régression équivalent serait

une. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

• où est un mannequin qui est égal à 1 si l'observation provient du groupe de traitement$Treatment$
• et est un mannequin qui est égal à 1 dans la période de temps après le traitement$d$

Ainsi, l'équation prend les valeurs suivantes.

• Groupe témoin, avant traitement:$\alpha$
• Groupe témoin, après traitement: $\alpha +\lambda$
• Groupe de traitement, avant traitement: $\alpha +\gamma$
• Groupe de traitement, après traitement: $\alpha+ \gamma+ \lambda+ \delta$

Par conséquent, dans un modèle à deux périodes, la différence d'estimation des différences est $\delta$ .

Mais que se passe- t- il concernant si j'ai plus d'une période de pré et post traitement? Dois-je toujours utiliser un mannequin qui indique si un an est avant ou après le traitement?$d_t$

Ou dois-je ajouter des variables muettes à la place sans préciser si chaque année appartient à la période de pré ou post-traitement? Comme ça:

b. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

Ou puis-je inclure les deux (c'est-à-dire )?$yeardummy +\lambda d_t$

c. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

En conclusion, comment spécifier un modèle de différence de différences avec plusieurs périodes (a, b ou c)?

La manière typique d'estimer un modèle de différence dans les différences avec plus de deux périodes est votre solution proposée b). En conservant votre notation, vous régresseriez où D t ≡ Traitement s ⋅ d t est une variable fictive qui est égal à un pour les unités de traitement

Comme cela a été correctement souligné dans les commentaires, votre solution c) proposée ne fonctionne pas en raison de la colinéarité avec les variables temporelles et la variable factice pour la période de post-traitement. Cependant, une légère variante de ceci s'avère être un contrôle de robustesse. Soit et γ s 1 deux ensembles de variables muettes pour chaque unité de contrôle s 0 et chaque unité traitée s 1 , respectivement, puis en interagissant les variables muettes pour les unités traitées avec la variable de temps t et en régressant Y i s t = γ s 0 + γ s 1$\gamma_{s0}$$\gamma_{s1}$$s0$$s1$$t$

Un exemple cité dans Angrist et Pischke (2009) Mostly Harmless Econometrics est une étude de politique du marché du travail de Besley et Burgess (2004) . Dans leur article, il arrive que l'inclusion de tendances temporelles spécifiques à l'État tue l'effet estimé du traitement. Notez cependant que pour cette vérification de robustesse, vous avez besoin de plus de 3 périodes.

Je voudrais clarifier quelque chose (et répondre indirectement à une question dans les commentaires). Elle concerne en particulier l'utilisation de tendances temporelles linéaires spécifiques à l'unité. À titre de vérification de la robustesse, il semblerait que vous n'interagissiez que pour les unités traitées (c.-à-d.$\gamma_{1s}$) avec une tendance temporelle continue. Cependant, il est en fait vrai que vous interagissez avec un ensemble complet de variables indicatrices d'unités / états (effets fixes d'unités / états) avec une variable de tendance temporelle linéaire.

Angrist et Pischke (2009) recommandent cette approche à la page 238 de l' économétrie Mostly Harmless . Les différences de notation peuvent prêter à confusion. Reproduction de la spécification 5.2.7:

where $\gamma_{0s}$ is a state-specific intercept, in accordance with the $s$ subscript used in their book. You can view $\gamma_{1s}$ as the state-specific trend coefficient multiplying the time trend variable, $t$. Different papers use different notation. For example, Wolfers (2006) replicates a model incorporating state-specific linear time trends. Reproducing model (1):

where the model includes state and year fixed effects (i.e., dummies for each state and year). The treatment variable $D_{s,t}$ is when state $s$ adopts a unilateral divorce regime in period $t$. Notice this specification interacts state dummies with a linear time trend (i.e., $Time_{t}$). This is yet another representation of state-specific linear time trends in your model specification.

Unit-specific linear time trends is also addressed in another post (see below):

How to account for endogenous program placement?

In sum, you want to interact all unit (group) dummies with a continuous time trend variable.

Paper by Justin Wolfers is below for your reference:

https://users.nber.org/~jwolfers/papers/Divorce(AER).pdf