Le

J'ai rencontré cette densité l'autre jour. Quelqu'un a-t-il donné un nom à cela?

$f(x) = \log(1 + x^{-2}) / 2\pi$

La densité est infinie à l'origine et elle a aussi des queues grasses. Je l'ai vu utilisé comme une distribution antérieure dans un contexte où de nombreuses observations devaient être petites, bien que de grandes valeurs soient également attendues.

distributions probability John D. Cook
la source

par curiosité, avez-vous une citation pour la source où vous avez vu cela à l'origine?

JMS

JMS: "L'estimateur en fer à cheval pour les signaux clairsemés" par Carvalho, Polson et Scott. Je l'ai vu comme une préimpression, mais il est possible qu'il ait déjà été publié dans Biometrika. Ils n'utilisent pas exactement cet a priori, mais la densité ci-dessus est une approximation d'un cas spécial de leur a priori.

John D. Cook

Il a été publié: dx.doi.org/10.1093/biomet/asq017 .

fabians

Quel cas particulier estimez-vous? Je l'ai lu, mais je ne peux pas vraiment relier votre expression aux expressions données dans l'article ...?

fabians

@fabians: Le cas que j'avais en tête était sigma ^ 2 = tau ^ 2 = 1 dans le théorème 1. Il dit que la densité du fer à cheval est limitée au-dessus et en dessous par des multiples de log (1 + c / x ^ 2). Alors peut-être que la distribution que j'ai mentionnée ci-dessus est plus une simplification de la densité du fer à cheval qu'une approximation.

John D. Cook,

Réponses:

En effet, même le premier moment n'existe pas. Le CDF de cette distribution est donné par

F (x) = 1 / 2 + (\arctan (x) - x \log (\sin (\arctan (x)))) / π

$F(x) = 1/2 + \left(\arctan(x) - x \log(\sin(\arctan(x)))\right)/\pi$

pour et, par symétrie, pour . Ni cela ni aucune des transformations évidentes ne me semble familier. (Le fait que nous puissions obtenir une forme fermée pour le CDF en termes de fonctions élémentaires limite déjà sévèrement les possibilités, mais la nature quelque peu obscure et compliquée de cette forme fermée exclut rapidement les distributions standard ou les transformations de puissance / log / exponentielle / trig de L'arctangente est, bien sûr, le CDF d'une distribution de Cauchy (Student ), présentant ce CDF comme une version (sensiblement) perturbée de la distribution de Cauchy, représentée par des tirets rouges.) $x \ge 0$ $F(x) = 1 - F(|x|)$ $x \lt 0$ $t_1$

entrez la description de l'image ici

whuber
la source

@whuber, notez que , qui relie la forme du cdf plus proche de celle du pdf . Il est également intéressant de noter que ce pdf est asymptotique à la moitié du pdf d'un Cauchy standard. Ainsi, la principale raison de son utilisation semble être due à son comportement autour de 0.

- 2 \log (\sin (a r c t a n (x))) = \log (1 + x^{- 2})

$-2\log(\sin(\mathrm{arctan}(x))) = \log(1+x^{-2})$

Cardinal

@whuber, bien que je pense que je vois d'où vous venez en ce qui concerne votre déclaration sur les cdfs ayant des formulaires fermés (indice: Louiville), je vous invite à la prudence avec cette remarque. La distribution de Cauchy elle-même est un "contre-exemple" à cet égard.

Cardinal

@cardinal Je ne comprends pas le point de votre remarque sur la distribution de Cauchy. J'utilise uniquement la forme du CDF comme heuristique pour restreindre les recherches et comme cible pour les recherches. Le CDF est un peu plus pratique que le PDF car il est plus facile de voir comment il changera lorsque la variable sera transformée. Et oui, la relation que vous avez notée est claire, mais j'ai choisi d'écrire le CDF sous cette forme à cause de la présence de l'arctangente dans l'autre terme (ce qui suggère la substitution x = tan (u)).

whuber

@whuber, eh bien, j'aurais peut-être mieux fait de demander des éclaircissements plutôt que de supposer. Quel était votre point concernant votre commentaire selon lequel un formulaire fermé cdf limite considérablement les possibilités?

Cardinal

@cardinal J'effectue une recherche large dans le sens de trouver une distribution nommée (ou étudiée jusqu'ici) et une ré-expression relativement simple (comme un pouvoir ou un logarithme, etc.) de telle sorte que ait cdf ssi a pdf . Si une distribution a été étudiée auparavant, il est fort probable que son CDF ait été obtenu et, si elle peut être écrite sous forme fermée, ce formulaire a également été publié. Par conséquent, nous devons seulement rechercher les formes fonctionnelles qui ressemblent à avec . Vous en connaissez?

G

$G$

y

$y$

y (X)

$y(X)$

G

$G$

X

$X$

f

$f$

G

$G$

u - \tan (u) \log (\sin (u))

$u - \tan(u)\log(\sin(u))$

u = u (x)

$u = u(x)$

whuber

Peut-être pas.

Je ne pouvais pas le trouver dans cette liste assez étendue de distributions:

Leemis et McQuestion 2008 Relations de distribution univariée. Statisticien américain 62 (1) 45:53

Abe
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