Asymétrie / kurtosis mobile pondéré exponentiel

Il existe des formules en ligne bien connues pour calculer des moyennes mobiles pondérées exponentiellement et des écarts-types d'un processus . Pour la moyenne,$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

et pour la variance

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

à partir de laquelle vous pouvez calculer l'écart type.

Existe-t-il des formules similaires pour le calcul en ligne des troisième et quatrième moments centraux exponentiels? Mon intuition est qu'ils devraient prendre la forme

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

et

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

à partir duquel vous pouvez calculer l'asymétrie et le kurtosis mais je n'ai pas été en mesure de trouver simple, fermé- expression de forme pour les fonctions f et g . k n = M 4 , n / σ 4 n f $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

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Edit: Quelques informations supplémentaires. La formule de mise à jour de la variance mobile est un cas particulier de la formule de la covariance mobile pondérée exponentielle, qui peut être calculée via

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

où $\bar{x}_n$ et $\bar{y}_n$ sont les moyennes exponentielles de déplacement de $x$ et $y$ . L'asymétrie entre $x$ et $y$ est illusoire et disparaît lorsque vous remarquez que $y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$ .

Des formules comme celle-ci peuvent être calculées en écrivant le moment central comme une attente , où les poids dans l'attente sont compris comme exponentiels, et en utilisant le fait que pour toute fonction nous avonsf ( x $E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

Il est facile de dériver les formules de mise à jour de la moyenne et de la variance en utilisant cette relation, mais cela s'avère plus difficile pour les troisième et quatrième moments centraux.

Les formules sont simples mais elles ne sont pas aussi simples que suggérées dans la question.

Que soit la précédente EWMA et laisser , qui est présumée indépendante de . Par définition , la nouvelle moyenne pondérée est pour une valeur constante . Pour plus de commodité, définissez . Soit le CDF d'une variable aléatoire et sa fonction de génération de moment , de sorte queX = x n$Y$$X = x_n$$Y$α β = 1 - α F $Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

Avec Kendall et Stuart , notons le moment non central d'ordre pour la variable aléatoire ; c'est-à-dire, . L' asymétrie et le kurtosis sont exprimables en termes de pour ; par exemple, l'asymétrie est définie comme oùkZ$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

sont respectivement les troisième et deuxième moments centraux.

Par résultats élémentaires standard,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

Pour obtenir les moments non centraux souhaités, multipliez cette dernière série de puissances par le quatrième ordre en et assimilez le résultat terme par terme aux termes en .$t$$\phi_Z(t)$

Je pense que la formule de mise à jour suivante fonctionne pour le troisième moment, bien que je serais ravie que quelqu'un la vérifie:

⋯ - μ n - $M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Mise à jour de la formule du kurtosis toujours ouverte ...