Asymétrie / kurtosis mobile pondéré exponentiel

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Il existe des formules en ligne bien connues pour calculer des moyennes mobiles pondérées exponentiellement et des écarts-types d'un processus . Pour la moyenne,(xn)n=0,1,2,

μn=(1α)μn1+αxn

et pour la variance

σn2=(1α)σn12+α(xnμn1)(xnμn)

à partir de laquelle vous pouvez calculer l'écart type.

Existe-t-il des formules similaires pour le calcul en ligne des troisième et quatrième moments centraux exponentiels? Mon intuition est qu'ils devraient prendre la forme

M3,n=(1α)M3,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1)

et

M4,n=(1α)M4,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1,M3,n,M3,n1)

à partir duquel vous pouvez calculer l'asymétrie et le kurtosis mais je n'ai pas été en mesure de trouver simple, fermé- expression de forme pour les fonctions f et g . k n = M 4 , n / σ 4 n f gγn=M3,n/σn3kn=M4,n/σn4fg


Edit: Quelques informations supplémentaires. La formule de mise à jour de la variance mobile est un cas particulier de la formule de la covariance mobile pondérée exponentielle, qui peut être calculée via

Cn(x,y)=(1α)Cn1(x,y)+α(xnx¯n)(yny¯n1)

x¯n et y¯n sont les moyennes exponentielles de déplacement de x et y . L'asymétrie entre x et y est illusoire et disparaît lorsque vous remarquez que yy¯n=(1α)(yy¯n1) .

Des formules comme celle-ci peuvent être calculées en écrivant le moment central comme une attente , où les poids dans l'attente sont compris comme exponentiels, et en utilisant le fait que pour toute fonction nous avonsf ( x )En()f(x)

En(f(x))=αf(xn)+(1α)En1(f(x))

Il est facile de dériver les formules de mise à jour de la moyenne et de la variance en utilisant cette relation, mais cela s'avère plus difficile pour les troisième et quatrième moments centraux.

Chris Taylor
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Réponses:

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Les formules sont simples mais elles ne sont pas aussi simples que suggérées dans la question.

Que soit la précédente EWMA et laisser , qui est présumée indépendante de . Par définition , la nouvelle moyenne pondérée est pour une valeur constante . Pour plus de commodité, définissez . Soit le CDF d'une variable aléatoire et sa fonction de génération de moment , de sorte queX = x n YYX=xnYα β = 1 - α F ϕZ=αX+(1α)Yαβ=1αFϕ

ϕX(t)=EF[exp(tX)]=Rexp(tx)dFX(x).

Avec Kendall et Stuart , notons le moment non central d'ordre pour la variable aléatoire ; c'est-à-dire, . L' asymétrie et le kurtosis sont exprimables en termes de pour ; par exemple, l'asymétrie est définie comme oùkZμμk(Z)kZμk(Z)=E[Zk]μkk=1,2,3,4μ3/μ23/2

μ3=μ33μ2μ1+2μ13 and μ2=μ2μ12

sont respectivement les troisième et deuxième moments centraux.

Par résultats élémentaires standard,

1+μ1(Z)t+12!μ2(Z)t2+13!μ3(Z)t3+14!μ4(Z)t4+O(t5)=ϕZ(t)=ϕαX(t)ϕβY(t)=ϕX(αt)ϕY(βt)=(1+μ1(X)αt+12!μ2(X)α2t2+)(1+μ1(Y)βt+12!μ2(Y)β2t2+).

Pour obtenir les moments non centraux souhaités, multipliez cette dernière série de puissances par le quatrième ordre en et assimilez le résultat terme par terme aux termes en .tϕZ(t)

whuber
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J'ai un problème de visualisation de formule, peut-être chaque fois qu'un 'est utilisé, avec IE et Firefox, pourriez-vous vérifier? Merci!
Quartz
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@Quartz Merci pour l'avertissement. Cela s'affichait correctement, il est donc évident qu'il y a eu des changements dans le traitement du balisage . J'ai trouvé une solution de contournement en mettant toutes les guillemets simples entre accolades. (Ce changement a probablement cassé quelques dizaines de messages sur ce site.)TEX
whuber
0

Je pense que la formule de mise à jour suivante fonctionne pour le troisième moment, bien que je serais ravie que quelqu'un la vérifie:

- μ n - 1M3,n=(1-α)M3,n-1+α[Xn(Xn-μn)(Xn-2μn)-Xnμn-1(μn-1-2μn)- μn1(μnμn1)23(xnμn)σn12]

Mise à jour de la formule du kurtosis toujours ouverte ...

Chris Taylor
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Pourquoi le ... dans la formule ci-dessus?
Chris
Poursuite de la ligne.
Chris Taylor
Votre équation s'est-elle révélée correcte? J'ai posé une question similaire dans R. stats.stackexchange.com/q/234460/70282
Chris
Avez-vous expliqué la division par N au troisième moment? L'asymétrie est le rapport du 3ème moment et de l'écart-type ^ 3 comme ceci: Skew = m3 / sqrt (variance) ^ 3 Le troisième moment est défini comme: m3 = sum ((x-mean) ^ 3) / n
Chris