Quelle est la logique derrière la méthode des moments?

Pourquoi dans "Méthode des moments", nous assimilons les moments de l'échantillon aux moments de la population pour trouver l'estimateur ponctuel?

Où est la logique derrière tout ça?

Un échantillon composé de réalisations à partir de variables aléatoires distribuées de manière identique et indépendante est ergodique. Dans un tel cas, les «moments d'échantillonnage» sont des estimateurs cohérents des moments théoriques de la distribution commune, si les moments théoriques existent et sont finis. $n$

Cela signifie que

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$$

Donc, en assimilant le moment théorique avec le moment de l'échantillon correspondant, nous avons

$$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$$

Donc ( ne dépend pas de n )$\mu_k$$n$

$$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$$

$$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$$

Nous le faisons donc parce que nous obtenons des estimateurs cohérents pour les paramètres inconnus.

$$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$$ $F(x)$$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$ or the sample $F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$, so that ${\rm d}F_n(x)$ is a bunch of delta-functions, and the (Lebesgue) integral with respect to ${\rm d}F_n(x)$ is the sample sum $\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$. If your functional $T(\cdot)$ is (weakly) differentiable, and $F_n(x)$ converges in the appropriate sense to $F(x)$, then it is easy to establish that the estimate is consistent, although of course more hoopla is needed to obtain say asymptotic normality.