Quelle est l'implication de la racine unitaire de MA?

Un processus ARMA (p, q) est faiblement stationnaire, si la racine de sa partie AR n'est pas sur le cercle unitaire. Sa faible stationnarité ne dépend donc pas de sa partie MA. Mais que peuvent impliquer les positions des racines de sa partie MA?

Dans les tests de racine unitaire pour ARIMA, une racine unitaire du polynôme MA indique que les données étaient surdifférenciées. Est-ce à dire que la série chronologique différenciée n'est pas faiblement stationnaire? Si oui, est-ce que cela contredit le fait antérieur que la faible stationnarité d'ARMA ne dépend pas de sa partie MA?

Pour élaborer sur certains des points ci-dessus, envisagez de différencier un processus suivant une tendance déterministe .$y_t=a+bt+\epsilon_t$

$\Delta y_t$ n'est pas inversible, comme . Il s'agit d'un avec une racine unitaire, et donc non inversible. En effet, la première différenciation est le "mauvais" schéma de tendance à la baisse pour un processus stationnaire de tendance.$\Delta y_t=bt-b(t-1)+\Delta\epsilon_t=b+\Delta\epsilon_t$$MA(1)$

De plus, nous avons que la variance à long terme d'un processus peut être écrite comme comme Nous avons pour , donc un avec une racine unitaire. C'est un problème par exemple parce que la variance à long terme est une variance asymptotique de la moyenne de l'échantillon, $MA(1)$

$$J=\sigma^2(1+\theta)^2,$$ $$\begin{eqnarray*} J &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \sum_{j=1}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \gamma_1 + 0\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2) + 2 \theta \sigma^2\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2 + 2\theta)\\ &=& \sigma^2(1 + \theta)^2 \end{eqnarray*}$$ $J=0$$\theta=-1$$MA(1)$ $$\sqrt{T}(\bar{Y}_T-\mu)\to_d N\Biggl(0,\sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j\Biggr),$$ qui est par exemple utilisé pour les erreurs standard - qui ne doit pas être nul.

Si les racines du processus d'AM indiquent une violation, cela peut être dû à une variété de causes;

1. Surdifférenciation de Y
2. Redondance de la structure AR et MA
3. Variables déterministes omises (impulsions / changements de niveau / impulsions saisonnières / tendances de l'heure locale
4. Transformation de puissance incorrecte
5. Changements de paramètres dans le temps
6. Changements dans la variance d'erreur dans le temps
7. Omission de variables causales spécifiées par l'utilisateur

J'espère que cela aide ... pourquoi l'identification du modèle n'est pas "une promenade dans les bois" et ne devrait pas être accomplie en utilisant des tests AIC / BIC simplistes mais plutôt formulés de manière agressive / globale.

Je pense que si vous êtes sûr que le processus est ARMA, alors la partie MA n'affecte pas la stationnarité. Mais si vous n'êtes pas sûr de cela, les tests de racine unitaire de la partie MA peuvent suggérer qu'il est "probable" que le processus spécifié n'est pas réellement ARMA (et vous voudrez donc l'intégrer).