Test d'indépendance, quand je manque un bac d'une contingence 2x2

Je cherche de l'aide pour concevoir un test d'hypothèse pour la situation suivante.

1. J'ai une source radioactive qui crache une particule de temps en temps.

2. De plus, j'ai deux détecteurs de particules: un détecteur de particules rouges et un détecteur de particules vertes. Chaque fois que le détecteur de particules rouges détecte une particule, il clignote une lumière rouge; laisser$R$ indiquent l'événement où la particule a été détectée par le détecteur rouge, et $r$l'événement du complément selon lequel la particule n'a pas été détectée par le détecteur rouge. Chaque fois que le détecteur de particules vertes détecte une particule, il clignote une lumière verte; laisser$G$ être le cas où le détecteur vert détecte la particule, et $g$que non. Ainsi, chaque particule émise appartient à l'une des quatre catégories:

   • détecté par les deux détecteurs ($RG$),
   • détecté par le détecteur rouge mais pas le détecteur vert ($Rg$),
   • détecté par le détecteur vert mais pas le détecteur rouge ($rG$), ou
   • non détecté par aucun des détecteurs ($rg$).

3. Chaque fois qu'une particule est émise, le détecteur rouge a une certaine probabilité de détecter la particule, et le détecteur vert a une certaine probabilité de détecter la particule. (Ils ne déclencheront jamais une fausse détection lorsqu'aucune particule n'est présente.) Je sais que chaque particule est traitée de manière identique et indépendante de toutes les autres particules, mais je ne sais pas si les deux détecteurs sont indépendants l'un de l'autre. Il est possible qu'ils soient indépendants (c.-à-d.$\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$), ou qu'ils sont corrélés (c'est-à-dire, ); Je ne sais pas ce qui est le cas, a priori.$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Je compte le nombre de détections (c'est-à-dire le nombre de fois où les deux détecteurs ont détecté quelque chose), le nombre de détections (c'est-à-dire le nombre de fois où le détecteur rouge a détecté quelque chose, mais pas le vert), et le nombre de rG. Malheureusement, je n'ai aucun moyen de mesurer le nombre de positions , car ces particules ne sont détectées par aucun des détecteurs. À la fin de l'expérience, j'ai trois entiers non négatifs, représentant ces comptes.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Je veux tester l'hypothèse que les deux détecteurs sont indépendants, à savoir que l' événement est indépendant de l' événement . Quelqu'un peut-il aider à suggérer un moyen de calculer la valeur de de cette hypothèse, étant donné 3 nombres d'une telle expérience?$H$$R$$G$$p$

Je serais parfaitement satisfait d'un algorithme / d'une procédure informatique pour calculer la valeur de . Je n'ai pas besoin d'une formule simple; quelque chose qui pourrait être calculé par un ordinateur serait suffisant.$p$

Voici une autre façon de voir cela. Nous pourrions former un tableau de contingence 2x2, comme celui-ci:

     G | g
  ---------
R | 17 22
r | 12?

enregistrement que nous avons vu 17 événements , 22 événements , et ainsi de suite. Malheureusement, la cellule inférieure droite est vide, car nous ne savons pas combien de particules ont été émises. Si nous avions des comptes pour les quatre cellules, nous pourrions probablement utiliser le test exact de Fisher, mais nous ne le faisons pas. De plus, on ne nous donne ni ni (je suppose que ce sont des paramètres de nuisance) ni le nombre total de particules émises.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

Aucune suggestion?

Si le nombre manquant était proche de 22 * ​​12/17, le tableau apparaîtrait indépendant. Cela correspond à vos observations. Si le nombre manquant est loin de cette valeur, le tableau présenterait un fort manque de dépendance. Cela aussi est conforme à vos observations. Évidemment, vos données ne peuvent pas discriminer les deux cas: l'indépendance ou l'absence de celle-ci ne sont pas identifiables . Par conséquent, votre seul espoir est d'adopter des hypothèses supplémentaires, comme un a priori pour le nombre manquant (de manière équivalente, pour le nombre total de particules émises).