Question sur la pondération à variance inverse

Supposons que nous voulons faire une inférence sur une réalisation non observée d'une variable aléatoire , qui est normalement distribuée avec la moyenne et la variance . Supposons qu'il existe une autre variable aléatoire (dont nous appellerons également réalisation non observée ) qui est normalement distribuée avec la moyenne et la variance . Soit la covariance de et . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Supposons maintenant que nous observons un signal sur , où , et un signal sur , où . Supposons que et sont indépendants. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

Quelle est la distribution de conditionnelle à et ? $x$ $a$ $b$

Ce que je sais jusqu'à présent: en utilisant la pondération à variance inverse, et

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Comme et sont dessinés conjointement, devrait contenir des informations sur . À part le réaliser, je suis coincé. Toute aide est appréciée! $x$ $y$ $b$ $x$

meta-analysis bad_at_math
la source

Cela ressemble exactement aux premières étapes de la dérivation d'un filtre de Kalman. Vous pouvez regarder la dérivation et penser au gain de Kalman pour la mise à jour de l'estimation de la covariance d'état. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

Merci pour la réponse! J'ai lu le document dans votre lien, mais je ne vois pas le lien avec le filtrage de Kalman. Avez-vous une chance à élaborer? J'apprécie l'aide!

bad_at_math

@EngrStudent Si l'OP n'est pas familier avec le filtre de Kalman, je ne vois pas comment cela va être d'une grande aide. Peut-être pourriez-vous plutôt expliquer comment aborder le problème sans invoquer les spécificités (ou le jargon) impliqués avec le KF, tout en utilisant peut-être votre compréhension de celui-ci pour guider une réponse sur les spécificités ici.

Glen_b -Reinstate Monica

Posté sur math.SE ici

Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:

Je ne sais pas si les formules de pondération à variance inverse s'appliquent ici. Cependant, je pense que vous pourriez calculer la distribution conditionnelle de étant donné et en supposant que , , et suivent une distribution normale multivariée conjointe. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

Plus précisément, si vous supposez (de manière compatible avec ce qui est spécifié dans la question) que puis, laissant et , vous pouvez trouver que

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Notez que dans ce qui précède, il est implicitement supposé que et sont indépendants l'un de l'autre et également avec et .)

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

À partir de cela, vous pouvez trouver la distribution conditionnelle de étant donné et utilisant les propriétés standard de la distribution normale multivariée (voir ici par exemple: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ). $x$ $a$ $b$

a.arfe
la source