Trouver la variance de l'estimateur pour la probabilité maximale pour la distribution de Poisson

Si sont des distributions de Poisson iid avec le paramètre j'ai calculé que l'estimation du maximum de vraisemblance est pour les données . On peut donc définir l'estimateur correspondant Ma question est de savoir comment calculer la variance de cet estimateur?$K_1, \dots, K_n$$\beta$

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

En particulier, comme chaque suit une distribution de Poisson avec le paramètre je sais, à partir des propriétés du Poisson, que la distribution suivra une distribution de Poisson avec le paramètre , mais quoi est la distribution de ?$K_i$$\beta$$\sum_{i=1}^n K_i$$n \beta$$T$

$T$ est distribué ... comme une variable de Poisson mise à l'échelle par . D'où la variance de est .$n$$T$$1/n^2 \times n\beta$

Souvenez-vous que toujours. Mais, si les sont indépendants, quelle est la valeur de ? C'est tout ce dont vous avez besoin pour répondre à la question.

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$