Qu'entend-on par «niveau» d'une série chronologique?

Dans une grande partie de la littérature que j'étudie, c'est l'un de ces termes qui revient fréquemment mais sans définition rigoureuse. Plus précisément, on me dit:

Pour les variables aléatoires indexées dans le temps (RVs) , le modèle de décomposition additive est donné comme$\{X_t\}$

$$X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$$

où

• $ll$ est le niveau à long terme , qui est un processus stochastique et peut être visualisé comme une version lissée de , à ne pas confondre avec les tendances qui sont des modèles déterministes$\{X_t\}$
• $fc$ est la composante de fluctuation qui représente les changements du niveau local , supposé stationnaire et avec un niveau moyen nul
• $\{\varepsilon_t\}$ sont des innovations et sont des VR à moyenne nulle IID

Mais quelle est la différence de sens entre la tendance par rapport à niveau à long terme par rapport à l' échelon local par rapport à niveau moyen ?

De plus, la composante de fluctuation et les innovations ne modélisent-elles pas la même chose, quel est le bruit associé à chaque observation? Alors pourquoi compliquer les choses en incluant les deux?

Cela a à voir avec l' ordre d'intégration . On dit qu'un processus stochastique est intégré d'ordre , de manière équivalente ~ s'il est stationnaire. Si ~ avec , le processus est dit intégré d'ordre et est alors non stationnaire. La décomposition ci-dessus tente de filtrer les composantes stationnaires (comme composante de fluctuation et innovations) et la composante de tendance stochastique non stationnaire. Une tendance stochastique est différente d'une tendance déterministe , et l'utilisation du mot tendance dans le passage est bâclée.$X_t$$0$$X_t$$I(0)$$X_t$$I(d)$$d>0, d \in \mathbb{N}$$d$

Maintenant, cela rend le son plus compliqué qu'il ne l'est. Prenons un exemple. Prenez ~ comme un processus de bruit blanc et laissez être . Définissez le polynôme de décalage suivant$\varepsilon_t$$(0,\sigma^2)$$\varepsilon_t$$iid$

$$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$$

L'opérateur de décalage fonctionne sur des variables aléatoires indexées dans le temps comme . Supposons maintenant que est généré comme$L$$L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$$X_t$

$$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$$

Ensuite, en utilisant la terminologie de votre extrait, le niveau à long terme serait défini par , la composante saisonnière / fluctuation par et les innovations par . Comme décrit dans l'extrait, la composante de fluctuation et les innovations sont stationnaires.$X_{t-1}$$C_1(L)\varepsilon_t$$\varepsilon_t$

La raison pour laquelle on l'appelle ainsi est quelque peu difficile à comprendre sans faire d'autres remarques et renvoie à l'ordre d'intégration susmentionné. Habituellement, nous ne rencontrons pas de processus qui sont intégrés d'ordres supérieurs à ou , alors considérons l'exemple ci-dessus d'ordre d'intégration .$1$$2$$1$

Tout d'abord, définissez . est stationnaire, donc ~ . Nous pouvons maintenant écrire cela nous dit que ~ , car sa première différence est intégrée d'ordre . La signification de ceci pourrait être difficile à saisir, jusqu'à ce que l'on réalise ce que signifie réellement. Cela signifie que l'on peut réécrire Cela pourrait ne pas sembler dramatique:$u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$u_t$$u_t$$I(0)$

$$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$$ $X_t$$I(1)$$0$$\Delta X_t = u_t$ $$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$$ $\mathbb{E}(X_t) = 0$ , après tout! Cependant, la variance de ce processus n'est pas finie et explose en . C'est pourquoi nous disons que le terme définit une tendance stochastique: bien qu'il ne soit pas déterministe (comme par exemple une tendance linéaire), ne sera stationnaire qu'une fois que nous aurons filtré la composante non stationnaire et la soustraire de . (Dans ce cas, comme observé précédemment, aurait filtré le composant non stationnaire et serait stationnaire.) Si vous ne le faites pas , vos procédures habituelles d'inférence statistique ne fonctionnent plus, puisque$\infty$$X_t$$X_{t}$$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$X_{t}$convergera vers un mouvement brownien par le principe d'invariance / théorème de limite centrale fonctionnelle. Ces résultats remplacent les résultats CLR standard pour les autorégressions, les problèmes de cointégration, etc.