Moyenne bayésienne au bâton avant

23

Je voulais poser une question inspirée d' une excellente réponse à la question sur l'intuition pour la distribution bêta. Je voulais mieux comprendre la dérivation de la distribution précédente de la moyenne au bâton. Il semble que David recule les paramètres de la moyenne et de la plage.

En supposant que la moyenne est de et l'écart-type de , pouvez-vous annuler et en résolvant ces deux équations: 0,180.270.18αβ

αα+β=0.27αβ(α+β)2(α+β+1)=0.182
Dimitriy V. Masterov
la source
3
Honnêtement, j'ai juste continué à représenter graphiquement les valeurs de R jusqu'à ce que cela semble correct.
David Robinson
1
où obtenez-vous l'écart-type à 0,18?
appleLover
Comment avez-vous trouvé cet écart-type? Le saviez-vous à l'avance?
Maria Lavrovskaya

Réponses:

21

Remarquerez que:

αβ(α+β)2=(αα+β)(1αα+β)

Cela signifie que la variance peut donc être exprimée en termes de moyenne comme

σ2=μ(1μ)α+β+1

Si vous voulez une moyenne de .27 et un écart type de .18 (variance .0324 ), calculez simplement:

α+β=μ(1μ)σ21=.27(1.27).03241=5.083333

Maintenant que vous connaissez le total, α et β sont faciles:

α=μ(α+β)=.275.083333=1.372499β=(1μ)(α+β)=(1.27)5.083333=3.710831

Vous pouvez vérifier cette réponse dans R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907
David Robinson
la source
David, suivez-vous des recherches sur le baseball? Il existe plusieurs techniques concurrentes pour trouver les bons et β , donc je me demandais si vous aviez une opinion à ce sujet si vous faisiez autre chose que d'essayer de trouver un graphique qui semblait raisonnable. αβ
Michael McGowan
Je ne respecte pas particulièrement la sabermétrie - dans l'autre réponse, il s'est avéré justement fournir un exemple très pratique d'estimation de p à partir d'un binôme avec un a priori. Je ne sais même pas si c'est comme ça que ça se passe en sabermétrie, et si c'est le cas, je sais qu'il y a beaucoup de composants que j'ai omis (joueurs ayant des antérieurs différents, ajustements de stade, pondération des coups récents par rapport aux anciens ...)
David Robinson
3
Je suis impressionné que votre regard était si précis.
Dimitriy V. Masterov
Salut David, comment obtenez-vous de ces valeurs de et β = 3,71 à vos valeurs globales dans le poste lié de 81 et 219 respectivement? α=1.37β=3.71
Alex
1
@Alex La variance et l'écart-type demandés proviennent de la question ci-dessus, qui demandait un écart-type de 0,18, pas le poste de distribution bêta. Si je calculais au lieu de regarder, j'aurais peut-être deviné un écart-type de quelque chose comme 0,03, qui aurait donné des valeurs de 59 et 160.
David Robinson
3

Je voulais ajouter ceci en tant que commentaire sur l'excellente réponse, mais elle a duré longtemps et sera plus belle avec la mise en forme des réponses.

Il ne faut pas oublier que tous sont pas possibles. Il est clair que μ [ 0 , 1 ] , mais les limites de σ 2 ne sont pas aussi claires .(μ,σ2)μ[0,1]σ2

En utilisant le même raisonnement que David, nous pouvons exprimer

σ2(α,μ)=μ2(1-μ)α+μ

ασ2μ

limα0σ2(α,μ)=μ(1-μ)

αα>0μ=12

μαβ=1-μμα

Pris ensemble, voici l'ensemble des moyennes et des variances valides pour la version bêta:

entrez la description de l'image ici

(En effet, cela est noté sur la page Wikipedia pour la version bêta )

MichaelChirico
la source